Questão 5: * O ar a 40^{\circ} \mathrm{C} escoa em regime permanente em uma tubulação. Se P_{1}=50 \mathrm{kPa} (manométrico), P_{2}=10 \mathrm{kPa} (manométrico), D=3 d, P_{\mathrm{atm}} \approx 100 \mathrm{kPa}, a velocidade média na seção 2 é V_{2}=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e a temperatura do ar permanece praticamente constante, determine a velocidade média na seção 1 .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a velocidade média na seção 1:
  • P_{1}=50\\ \mathrm{kPa} (manométrico).
  • P_{2}=10\\ \mathrm{kPa} (manométrico).
  • P_{\mathrm{atm}}\approx100\\ \mathrm{kPa}.
  • D=3d (ou seja, o diâmetro na seção 1 é três vezes o diâmetro na seção 2).
  • V_{2}=30\\ \mathrm{m/s}.
  • A temperatura do ar permanece praticamente constante durante o escoamento.
O que precisamos encontrar: a velocidade média V_{1} na seção 1.

Passo 2

Princípio físico a usar (explicação didática): em escoamento permanente a massa que entra por uma seção por unidade de tempo é igual à massa que sai por outra seção por unidade de tempo. Isso significa que a vazão mássica \dot{m} é constante:
\dot{m}=\rho_{1}A_{1}V_{1}=\rho_{2}A_{2}V_{2},
onde:
  • \rho_{1} e \rho_{2} são as densidades do ar nas seções 1 e 2;
  • A_{1} e A_{2} são as áreas transversais das seções 1 e 2;
  • V_{1} e V_{2} são as velocidades médias nas seções 1 e 2.
Aqui é importante notar que, se a pressão muda e a temperatura também muda, a densidade muda. O enunciado diz que a temperatura permanece praticamente constante — isso permite usar a relação de gás ideal em processo isotérmico para relacionar densidades com pressões (explico no próximo passo).

Passo 3

Relação densidade–pressão para gás em processo isotérmico (aula curta): para um gás ideal a temperatura T constante vale
\rho=\frac{p}{R\,T},
onde p é a pressão absoluta, R é a constante específica do gás. Se T é constante, então a densidade é proporcional à pressão absoluta. Portanto
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}.
Aqui precisamos usar pressões absolutas. Converter pressões manométricas para absolutas:
p_{1}=P_{\mathrm{atm}}+P_{1}=100\\ \mathrm{kPa}+50\\ \mathrm{kPa}=150\\ \mathrm{kPa},
p_{2}=P_{\mathrm{atm}}+P_{2}=100\\ \mathrm{kPa}+10\\ \mathrm{kPa}=110\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Área das seções e razão entre elas (explicando passo a passo): a área transversal de um tubo de diâmetro D é A=\pi D^{2}/4. Assim a razão A_{2}/A_{1} depende só da razão dos diâmetros:
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\left(\frac{d}{D}\right)^{2}.
Como o enunciado dá D=3d, temos
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\left(\frac{d}{3d}\right)^{2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}.

Passo 5

Montando a expressão para V_{1} e resolvendo (passo a passo algébrico):
Da conservação de massa:
\rho_{1}A_{1}V_{1}=\rho_{2}A_{2}V_{2}\quad\Rightarrow\quad V_{1}=\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}\cdot\frac{A_{2}}{A_{1}}\cdot V_{2}.
Usando \rho_{2}/\rho_{1}=p_{2}/p_{1} e os valores encontrados:
V_{1}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\cdot\frac{1}{9}\cdot V_{2}.
Substituindo p_{2}=110\\ \mathrm{kPa}, p_{1}=150\\ \mathrm{kPa} e V_{2}=30\\ \mathrm{m/s}:
V_{1}= \frac{110}{150}\cdot\frac{1}{9}\cdot 30.
Fazendo a álgebra com frações para ficar limpo: \dfrac{110}{150}=\dfrac{11}{15}. Então
V_{1}=30\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{1}{9}=30\cdot\frac{11}{135}.
Simplificando 30/135=2/9, obtemos
V_{1}=\frac{2}{9}\cdot 11=\frac{22}{9}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resultado numérico arredondado e comentário: calcular \dfrac{22}{9}:
\frac{22}{9}\approx 2,444\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais:
V_{1}\approx 2,44\\ \mathrm{m/s}.
Comentário rápido (para te deixar confiante): se tivéssemos (erroneamente) tratado o ar como incompressível, usaríamos apenas a razão de áreas V_{1}=(A_{2}/A_{1})V_{2}=30/9=3,33\\ \mathrm{m/s}. A diferença surge porque, com temperatura constante, a densidade segue a pressão absoluta e p_{2}<p_{1}, reduzindo ainda mais V_{1}. Isso está consistente fisicamente e com os dados do enunciado.

Resposta

V_{1}\approx 2,44\\ \mathrm{m/s}

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