Questão 5: * O ar a
escoa em regime permanente em uma tubulação. Se
(manométrico),
(manométrico),
, a velocidade média na seção 2 é
, e a temperatura do ar permanece praticamente constante, determine a velocidade média na seção 1 .
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a velocidade média na seção 1:
-
(manométrico). -
(manométrico). -
. -
(ou seja, o diâmetro na seção 1 é três vezes o diâmetro na seção 2). -
. - A temperatura do ar permanece praticamente constante durante o escoamento.
O que precisamos encontrar: a velocidade média
na seção 1.
Passo 2
Princípio físico a usar (explicação didática): em escoamento permanente a massa que entra por uma seção por unidade de tempo é igual à massa que sai por outra seção por unidade de tempo. Isso significa que a vazão mássica
é constante:
onde:
-
e são as densidades do ar nas seções 1 e 2; -
e são as áreas transversais das seções 1 e 2; -
e são as velocidades médias nas seções 1 e 2.
Aqui é importante notar que, se a pressão muda e a temperatura também muda, a densidade muda. O enunciado diz que a temperatura permanece praticamente constante — isso permite usar a relação de gás ideal em processo isotérmico para relacionar densidades com pressões (explico no próximo passo).
Passo 3
Relação densidade–pressão para gás em processo isotérmico (aula curta): para um gás ideal a temperatura
constante vale
onde
é a pressão absoluta,
é a constante específica do gás. Se
é constante, então a densidade é proporcional à pressão absoluta. Portanto
Aqui precisamos usar pressões absolutas. Converter pressões manométricas para absolutas:
Passo 4
Área das seções e razão entre elas (explicando passo a passo): a área transversal de um tubo de diâmetro
é
. Assim a razão
depende só da razão dos diâmetros:
Como o enunciado dá
, temos
Passo 5
Montando a expressão para
e resolvendo (passo a passo algébrico):
Da conservação de massa:
Da conservação de massa:
Usando
e os valores encontrados:
Substituindo
,
e
:
Fazendo a álgebra com frações para ficar limpo:
. Então
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Resultado numérico arredondado e comentário: calcular
:
Arredondando com duas casas decimais:
Comentário rápido (para te deixar confiante): se tivéssemos (erroneamente) tratado o ar como incompressível, usaríamos apenas a razão de áreas
. A diferença surge porque, com temperatura constante, a densidade segue a pressão absoluta e
, reduzindo ainda mais
. Isso está consistente fisicamente e com os dados do enunciado.