• Questão 13: Em cada item escreva o polinômio dado como combinação linear dos polinômios p_{1}(t)=1+t, p_{2}(t)=1-t+t^{2} e p_{3}(t)=1-t^{2}.
-1+t^{2}

Passo 1

O enunciado pede: escrever o polinômio -1+t^{2} como combinação linear dos polinômios dados:
p_{1}(t)=1+t,\qquad p_{2}(t)=1-t+t^{2},\qquad p_{3}(t)=1-t^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio alvo é -1+t^{2}.
  • Os polinômios base são p_{1},p_{2},p_{3} conforme listados acima.
  • A tarefa é encontrar escalares (coeficientes) reais a,b,c tais que uma combinação linear dos p_{i} renda exatamente o polinômio alvo.

Passo 2

Explicando a ideia: escrever um polinômio como combinação linear significa procurar números a,b,c tais que
a\,p_{1}(t)+b\,p_{2}(t)+c\,p_{3}(t)=-1+t^{2}.
Aqui a,b,c são os coeficientes que queremos achar. Essa é a maneira padrão: atribuir coeficientes desconhecidos e igualar as duas expressões.

Passo 3

Substituir explicitamente os p_{i} na combinação e somar termo a termo. Temos
a(1+t)+b(1-t+t^{2})+c(1-t^{2}).
Agora vamos expandir cada produto:
a(1+t)=a+at,
b(1-t+t^{2})=b-bt+bt^{2},
c(1-t^{2})=c-ct^{2}.
Somando tudo:
a+at + b-bt+bt^{2} + c-ct^{2}.

Passo 4

Agrupando os termos segundo as potências de t (constante, t, t^{2}):
\underbrace{(a+b+c)}_{\text{coeficiente de }t^{0}} \;+\; \underbrace{(a-b)}_{\text{coeficiente de }t} \;t \;+\; \underbrace{(b-c)}_{\text{coeficiente de }t^{2}} \;t^{2}.
Explicação rápida: dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes de cada potência de t forem iguais. Então igualamos os coeficientes desta soma aos coeficientes do polinômio alvo -1+t^{2}, que tem coeficientes: constante -1, coeficiente de t igual a 0, coeficiente de t^{2} igual a 1.

Passo 5

Escrever o sistema de equações obtido ao comparar coeficientes:
\begin{cases} a+b+c=-1,\\[4pt] a-b=0,\\[4pt] b-c=1. \end{cases}
Vou resolver passo a passo de forma bem clara.]

Passo 6

Da segunda equação a-b=0 vem
a=b.
Da terceira equação b-c=1 vem
c=b-1.
Substituindo essas expressões na primeira equação a+b+c=-1:
b + b + (b-1) = -1.
Somando os termos do lado esquerdo:
3b - 1 = -1.
Isolando b:
3b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.

Passo 7

Agora encontramos os outros coeficientes usando b=0:
a=b=0,
c=b-1=0-1=-1.
Logo os coeficientes são a=0, b=0, c=-1.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: com esses coeficientes a combinação fica
0\cdot p_{1}(t)+0\cdot p_{2}(t)-1\cdot p_{3}(t) = -p_{3}(t).
Como p_{3}(t)=1-t^{2}, temos -p_{3}(t)=-1+t^{2}, que é exatamente o polinômio alvo. Portanto está correto.

Resposta

-p_{3}(t)

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