Os polinômios base são p_{1},p_{2},p_{3} conforme listados acima.
A tarefa é encontrar escalares (coeficientes) reais a,b,c tais que uma combinação linear dos p_{i} renda exatamente o polinômio alvo.
Passo 2
Explicando a ideia: escrever um polinômio como combinação linear significa procurar números a,b,c tais que
a\,p_{1}(t)+b\,p_{2}(t)+c\,p_{3}(t)=-1+t^{2}.
Aqui a,b,c são os coeficientes que queremos achar. Essa é a maneira padrão: atribuir coeficientes desconhecidos e igualar as duas expressões.
Passo 3
Substituir explicitamente os p_{i} na combinação e somar termo a termo. Temos
a(1+t)+b(1-t+t^{2})+c(1-t^{2}).
Agora vamos expandir cada produto:
a(1+t)=a+at,
b(1-t+t^{2})=b-bt+bt^{2},
c(1-t^{2})=c-ct^{2}.
Somando tudo:
a+at + b-bt+bt^{2} + c-ct^{2}.
Passo 4
Agrupando os termos segundo as potências de t (constante, t, t^{2}):
\underbrace{(a+b+c)}_{\text{coeficiente de }t^{0}} \;+\; \underbrace{(a-b)}_{\text{coeficiente de }t} \;t \;+\; \underbrace{(b-c)}_{\text{coeficiente de }t^{2}} \;t^{2}.
Explicação rápida: dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes de cada potência de t forem iguais. Então igualamos os coeficientes desta soma aos coeficientes do polinômio alvo -1+t^{2}, que tem coeficientes: constante -1, coeficiente de t igual a 0, coeficiente de t^{2} igual a 1.
Passo 5
Escrever o sistema de equações obtido ao comparar coeficientes: