• Questão 21: Quais dos subconjuntos abaixo do P_{4}(\mathbb{R}) são linearmente independentes?
    S_{1}=\left\{1, x-1, x^{2}+2 x, x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o subconjunto S_{1} de P_{4}(\mathbb{R}) é linearmente independente. O conjunto dado é
S_{1}=\{\,1,\;x-1,\;x^{2}+2x,\;x^{2}\,\}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Os elementos de S_{1} são polinômios em \mathbb{R}[x] de grau no máximo 2.
  • A pergunta é única: verificar se esses quatro polinômios são linearmente independentes (ou seja, se existe ou não uma combinação linear não nula que resulte no polinômio zero).

Passo 2

Definição e estratégia (passo-a-passo didático, tipo “na prova faça assim”):
  • Um conjunto de vetores (aqui: polinômios) é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial, ou seja, todos os coeficientes são zero.
  • Em termos práticos, tomo coeficientes escalares desconhecidos a,b,c,d e escrevo a equação
a\cdot 1 + b\cdot (x-1) + c\cdot (x^{2}+2x) + d\cdot x^{2} = 0
onde 0 é o polinômio nulo (o polinômio que vale zero para todo x).
  • Depois, desenvolvo e agrupo pelos monômios 1, x, x^{2}. Igualo os coeficientes de cada monômio a zero e resolvo o sistema linear obtido. Se a única solução for a=b=c=d=0, o conjunto é independente. Se existir uma solução com algum coeficiente diferente de zero, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Montar a combinação linear e expandir:
a\cdot 1 + b\cdot (x-1) + c\cdot (x^{2}+2x) + d\cdot x^{2} = 0.
Expandindo cada termo:
a + bx - b + c x^{2} + 2c x + d x^{2} = 0.
Agora agrupo os termos por potências de x:
  • Coeficiente de x^{2}: c + d.
  • Coeficiente de x: b + 2c.
  • Coeficiente constante: a - b.
Como o lado direito é o polinômio zero, cada um desses coeficientes deve ser zero. Obtemos o sistema:
\begin{cases} c + d = 0,\\[4pt] b + 2c = 0,\\[4pt] a - b = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação c + d = 0 segue
d = -c.
  • Da segunda equação b + 2c = 0 segue
b = -2c.
  • Da terceira equação a - b = 0 segue
a = b.
Substituindo b=-2c em a=b obtemos
a = -2c.
Portanto todas as incógnitas podem ser expressas em função de c:
a = -2c,\qquad b = -2c,\qquad d = -c.
Isto mostra que existe uma família de soluções paramétrica com parâmetro livre c. Em particular, se escolhemos c=1 (uma escolha simples para produzir uma combinação não trivial), obtemos
a=-2,\quad b=-2,\quad c=1,\quad d=-1.

Passo 5

Exibir explicitamente a combinação linear não trivial encontrada (isso prova dependência):
Substituindo esses valores na combinação inicial:
(-2)\cdot 1 + (-2)\cdot (x-1) + 1\cdot (x^{2}+2x) + (-1)\cdot x^{2} = 0.
Verificação rápida (expandindo):
-2 -2x +2 + x^{2} +2x - x^{2} = 0.
Os termos se cancelam e o resultado é o polinômio zero, com coeficientes não todos nulos. Isso demonstra que existe uma combinação linear não trivial que dá zero, logo os elementos de S_{1} são linearmente dependentes.

Resposta

S1 é linearmente dependente.

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