Questão 13. Em cada um dos Problemas de 1 a 8, encontre a solução estacionária da equação de condução de calor alpha^{2} u_{x x}=u_{t} que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
u_{x}(0, t)=0, \quad u(L, t)=T

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foi retirado do enunciado).
  • Equação de condução de calor: \alpha^{2} u_{x x}=u_{t}.
  • Condições de contorno: u_{x}(0,t)=0,\qquad u(L,t)=T.
  • O que é pedido: encontrar a solução estacionária (steady‑state) da equação que satisfaça essas condições de contorno. A solução estacionária é a distribuição de temperatura u_s(x) que não depende do tempo.

Passo 2

Definição e redução da equação na situação estacionária. Uma solução estacionária não depende do tempo, então tem u_{t}=0. Denotando por u_s(x) a solução estacionária, substituímos na equação:
\alpha^{2} u_{s}''(x)=0.
Dividindo por \alpha^{2} (assumindo \alpha\neq0) obtemos a equação ordinária a resolver:
u_{s}''(x)=0.

Passo 3

Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem u_{s}''(x)=0. Integrando uma vez em relação a x obtemos a derivada:
u_{s}'(x)=A,
onde A é uma constante arbitrária. Integrando novamente,
u_{s}(x)=A x + B,
onde B é outra constante arbitrária. Aqui A representa a inclinação (gradiente de temperatura) e B o valor da função em x=0.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para determinar A e B.
  • A condição Neumann em x=0 é u_{x}(0,t)=0. Para a solução estacionária isso é u_{s}'(0)=0. Como u_{s}'(x)=A para todo x, temos
A=0.
  • A condição Dirichlet em x=L é u(L,t)=T. Para a solução estacionária isso é u_{s}(L)=T. Substituindo A=0 na expressão de u_{s},
u_{s}(L)=0\cdot L + B = B = T.
Portanto B=T.

Passo 5

Escrever a solução encontrada e checar rapidamente. Com A=0 e B=T obtemos
u_{s}(x)=T\quad\text{para todo }x\in[0,L].
Verificações:
  • u_{s}''(x)=0 então \alpha^{2}u_{s}''=0=u_{t} (como u_{t}=0), logo satisfaz a equação estacionária.
  • u_{s}'(0)=0 satisfaz a condição Neumann.
  • u_{s}(L)=T satisfaz a condição Dirichlet.
Intuição física curta: com a extremidade x=L mantida à temperatura T e a outra extremidade isolada ( u_x(0)=0), a condição de equilíbrio é que toda a barra atinja temperatura T (nenhum gradiente permanecendo porque a derivada na borda isolada é zero).

Resposta

u_{s}(x)=T

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