Questão 13. Em cada um dos Problemas de 1 a 8, encontre a solução estacionária da equação de condução de calor
que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foi retirado do enunciado).
- Equação de condução de calor:
- Condições de contorno:
- O que é pedido: encontrar a solução estacionária (steady‑state) da equação que satisfaça essas condições de contorno. A solução estacionária é a distribuição de temperatura
que não depende do tempo.
Passo 2
Definição e redução da equação na situação estacionária. Uma solução estacionária não depende do tempo, então tem
. Denotando por
a solução estacionária, substituímos na equação:
Dividindo por
(assumindo
) obtemos a equação ordinária a resolver:
Passo 3
Resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
. Integrando uma vez em relação a
obtemos a derivada:
onde
é uma constante arbitrária. Integrando novamente,
onde
é outra constante arbitrária. Aqui
representa a inclinação (gradiente de temperatura) e
o valor da função em
.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
.
- A condição Neumann em
é . Para a solução estacionária isso é . Como para todo , temos
- A condição Dirichlet em
é . Para a solução estacionária isso é . Substituindo na expressão de ,
Portanto
.
Passo 5
Escrever a solução encontrada e checar rapidamente. Com
e
obtemos
Verificações:
-
então (como ), logo satisfaz a equação estacionária. -
satisfaz a condição Neumann. -
satisfaz a condição Dirichlet.
Intuição física curta: com a extremidade
mantida à temperatura
e a outra extremidade isolada (
), a condição de equilíbrio é que toda a barra atinja temperatura
(nenhum gradiente permanecendo porque a derivada na borda isolada é zero).