Mostrar numericamente, a partiple conjunto X=[1,3,2] e de forma algébrica, para qualquer amostra de tamanho n, que \sum_{j=1}^{n}\left(X_{j}-\bar{X}\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a soma dos desvios em relação à média amostral é zero. Primeiro, fazemos um exemplo numérico com o vetor X=[1,3,2]. Depois, faremos uma prova algébrica válida para qualquer amostra de tamanho n. O conteúdo aqui é a propriedade fundamental da média amostral: \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\bigl(X_{j}-\bar{X}\bigr)=0.

Passo 2

No caso particular X=[1,3,2] de tamanho n=3, calculamos a média
\bar{X}=\frac{1+3+2}{3}=\frac{6}{3}=2.
Em seguida, obtemos os desvios X_{j}-\bar{X}:
1-2=-1,\quad 3-2=1,\quad 2-2=0.
Somando esses desvios:
(-1)+1+0=0.
Logo, numericamente confirmamos que \sum_{j=1}^{3}(X_{j}-\bar{X})=0.

Passo 3

Para a prova algébrica, escrevemos a soma dos desvios de forma distribuída:
\sum_{j=1}^{n}\bigl(X_{j}-\bar{X}\bigr) =\sum_{j=1}^{n}X_{j} -\sum_{j=1}^{n}\bar{X}.

Passo 4

Como \bar{X} é constante em relação a j, temos \sum_{j=1}^{n}\bar{X}=n\,\bar{X}. Além disso, por definição de média,
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_{j} \quad\Longrightarrow\quad n\,\bar{X}=\sum_{j=1}^{n}X_{j}.
Substituindo esta igualdade na soma dos desvios, obtemos
\sum_{j=1}^{n}\bigl(X_{j}-\bar{X}\bigr) =\sum_{j=1}^{n}X_{j}-n\,\bar{X} =\sum_{j=1}^{n}X_{j}-\sum_{j=1}^{n}X_{j} =0.

Resposta

\sum_{j=1}^{n}\bigl(X_{j}-\bar{X}\bigr)=0.

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