Questão 13.
Considere uma urna com três bolas brancas e sete bolas vermelhas. Duas bolas são retiradas aleatoriamente da urna, uma após a outra, sem reposição.
a. Esboce o espaço amostral
desse problema.
b. Defina
a
bola retirada é branca
e
a
bola retirada é vermelha]. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm a mesma probabilidade, calcule
e
.
c. Defina agora
a
bola retirada é branca
e
a
bola retirada é vermelha]. Calcule
e
(Dica: ao invés de utilizar a definição formal de probabilidade condicional, utilize seu conhecimento sobre a dinâmica do problema. Por exemplo, dado que a primeira bola retirada é branca, qual a probabilidade de que a segunda bola retirada também seja branca?).
d. Calcule
e
(Dica: utilize a Regra do Produto, isto é,
e assim em diante
.
a. Esboce o espaço amostral
b. Defina
c. Defina agora
d. Calcule
Passo 1
O enunciado descreve uma urna com três bolas brancas e sete bolas vermelhas. Retiramos duas bolas em sequência, sem reposição. Precisamos:
– desenhar o espaço amostral considerando resultados ordenados e equiprováveis;
– usar probabilidade clássica para e
;
– aplicar a ideia de probabilidade condicional para ,
,
e
;
– usar a regra do produto para calcular as probabilidades conjuntas.
– desenhar o espaço amostral
– usar probabilidade clássica para
– aplicar a ideia de probabilidade condicional para
– usar a regra do produto para calcular as probabilidades conjuntas.
Passo 2
Cada evento de
é um par ordenado de bolas distintas etiquetadas. Se chamarmos as brancas de
e as vermelhas de
, então
Como há 10 escolhas para a primeira bola e 9 para a segunda,
, e cada ponto tem probabilidade
.
Passo 3
Para
contamos todas as saídas em que a primeira bola é branca: são
resultados. Logo
Analogamente, para a primeira bola vermelha:
Passo 4
Dado que a primeira foi branca, restam 2 brancas e 7 vermelhas em 9 bolas, então
Dado que a primeira foi vermelha, restam 3 brancas e 6 vermelhas em 9 bolas, logo
Passo 5
Pela regra do produto, por exemplo
Fazendo o mesmo para os outros casos:
Resposta
a.
, com
.
b.
c.
d.