Questão 13.

Considere uma urna com três bolas brancas e sete bolas vermelhas. Duas bolas são retiradas aleatoriamente da urna, uma após a outra, sem reposição.
a. Esboce o espaço amostral Omega desse problema.
b. Defina B1=[ a 1^ a bola retirada é branca ] e V1=[ a 1^ a bola retirada é vermelha]. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm a mesma probabilidade, calcule P(B1) e P(V1).
c. Defina agora B2=[ a 2^a bola retirada é branca ] e V2=[ a 2^a bola retirada é vermelha]. Calcule P(B2 mid B1), P(V2 mid B1), P(B2 mid V1) e P(V2 mid V1) (Dica: ao invés de utilizar a definição formal de probabilidade condicional, utilize seu conhecimento sobre a dinâmica do problema. Por exemplo, dado que a primeira bola retirada é branca, qual a probabilidade de que a segunda bola retirada também seja branca?).
d. Calcule P(B1 cap B2), P(B1 cap V2), P(V1 cap B2) e P(V1 cap V2) (Dica: utilize a Regra do Produto, isto é, P(B1 cap B2)=P(B1) cdot P(B2 mid B1) e assim em diante ).

Passo 1

O enunciado descreve uma urna com três bolas brancas e sete bolas vermelhas. Retiramos duas bolas em sequência, sem reposição. Precisamos:
– desenhar o espaço amostral Omega considerando resultados ordenados e equiprováveis;
– usar probabilidade clássica para P(B1) e P(V1);
– aplicar a ideia de probabilidade condicional para P(B2mid B1), P(V2mid B1), P(B2mid V1) e P(V2mid V1);
– usar a regra do produto para calcular as probabilidades conjuntas.

Passo 2

Cada evento de Omega é um par ordenado de bolas distintas etiquetadas. Se chamarmos as brancas de w1,w2,w3 e as vermelhas de r1,dots,r7, então
Omega = (i,j)mid i,jinw1,w2,w3,r1,dots,r7,;ineq j
Como há 10 escolhas para a primeira bola e 9 para a segunda, lvertOmegarvert=10times9=90, e cada ponto tem probabilidade 1/90.

Passo 3

Para P(B1) contamos todas as saídas em que a primeira bola é branca: são 3times9=27 resultados. Logo
P(B1)=2790=310
Analogamente, para a primeira bola vermelha:
P(V1)=7times990=6390=710

Passo 4

Dado que a primeira foi branca, restam 2 brancas e 7 vermelhas em 9 bolas, então
P(B2mid B1)=29, P(V2mid B1)=79
Dado que a primeira foi vermelha, restam 3 brancas e 6 vermelhas em 9 bolas, logo
P(B2mid V1)=39=13, P(V2mid V1)=69=23

Passo 5

Pela regra do produto, por exemplo
P(B1cap B2) =P(B1),P(B2mid B1) =310cdot29=115
Fazendo o mesmo para os outros casos:
P(B1cap V2) =310cdot79=730, P(V1cap B2) =710cdot13=730, P(V1cap V2) =710cdot23=715

Resposta

a.
Omega = (i,j)mid i,jinw1,w2,w3,r1,dots,r7,;ineq j, com lvertOmegarvert=90.
b.
P(B1)=310, P(V1)=710
c.
P(B2mid B1)=29, P(V2mid B1)=79, P(B2mid V1)=13, P(V2mid V1)=23
d.
P(B1cap B2)=115, P(B1cap V2)=730, P(V1cap B2)=730, P(V1cap V2)=715

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