Questão 13
Dado o número complexo
, determine a sua forma algébrica
. Utilize as propriedades da unidade imaginária
.
Passo 1
O enunciado nos dá o número complexo
e pede para determinar a sua forma algébrica
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão contém
. - A expressão contém
. - É necessário usar as propriedades da unidade imaginária
.
Passo 2
Vou lembrar e explicar as propriedades básicas da unidade imaginária
, porque vamos usá-las em todas as contas.
- Por definição
. Isso é a peça-chave. - A partir disso, as potências de
repetem-se em ciclo de período . Explicitamente:
e então
,
, etc.
Explicação do ciclo: cada multiplicação por gira o número no plano complexo em
; quatro rotações voltam ao ponto inicial, por isso o ciclo de ordem
.
Explicação do ciclo: cada multiplicação por
Passo 3
Calcular
passo a passo usando a expansão de binómio
. Aqui
e
.
Substituindo
e
:
Portanto
. (Passo com contas detalhadas para fazer à mão na prova: expanda o quadrado e depois troque
por
.)
Passo 4
Calcular
usando o ciclo das potências de
. Primeiro achamos o resto da divisão de
por
(porque o período é
).
ou seja,
. Isso implica
Portanto
. (Dica rápida para a prova: basta calcular
.)
Passo 5
Agora somamos os resultados das duas partes que calculamos:
Escrevendo na forma algébrica
, isso corresponde a
e
.
Passo 6
Verificação rápida e interpretação:
é um número puramente imaginário; na forma
fica
. As etapas necessárias numa prova seriam exatamente: expandir
, usar
, reduzir
pelo ciclo de período
e somar os termos.