Questão 13

Dado o número complexo z=(1+i)^{2}+i^{97}, determine a sua forma algébrica x+y i. Utilize as propriedades da unidade imaginária i.

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo \displaystyle z=(1+i)^{2}+i^{97} e pede para determinar a sua forma algébrica x+yi.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão contém (1+i)^{2}.
  • A expressão contém i^{97}.
  • É necessário usar as propriedades da unidade imaginária i.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as propriedades básicas da unidade imaginária i, porque vamos usá-las em todas as contas.
  • Por definição \displaystyle i^{2}=-1. Isso é a peça-chave.
  • A partir disso, as potências de i repetem-se em ciclo de período 4. Explicitamente:
i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1,
e então \displaystyle i^{5}=i, \displaystyle i^{6}=-1, etc.
Explicação do ciclo: cada multiplicação por i gira o número no plano complexo em 90^\circ; quatro rotações voltam ao ponto inicial, por isso o ciclo de ordem 4.

Passo 3

Calcular (1+i)^{2} passo a passo usando a expansão de binómio (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=1 e b=i.
(1+i)^{2}=1^{2}+2\cdot1\cdot i + i^{2}.
Substituindo 1^{2}=1 e i^{2}=-1:
(1+i)^{2}=1+2i+(-1)= (1-1)+2i = 2i.
Portanto (1+i)^{2}=2i. (Passo com contas detalhadas para fazer à mão na prova: expanda o quadrado e depois troque i^{2} por -1.)

Passo 4

Calcular i^{97} usando o ciclo das potências de i. Primeiro achamos o resto da divisão de 97 por 4 (porque o período é 4).
97\div 4 = 24\text{ com resto }1,
ou seja, 97\equiv 1\pmod{4}. Isso implica
i^{97}=i^{4\cdot24+1}=(i^{4})^{24}\cdot i^{1}=1^{24}\cdot i = i.
Portanto i^{97}=i. (Dica rápida para a prova: basta calcular 97\mod 4.)

Passo 5

Agora somamos os resultados das duas partes que calculamos:
z=(1+i)^{2}+i^{97}=2i + i = 3i.
Escrevendo na forma algébrica x+yi, isso corresponde a x=0 e y=3.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação: 3i é um número puramente imaginário; na forma x+yi fica 0+3i. As etapas necessárias numa prova seriam exatamente: expandir (1+i)^{2}, usar i^{2}=-1, reduzir i^{97} pelo ciclo de período 4 e somar os termos.

Resposta

z=0+3i

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