Questão 14

Efetue a divisão do número complexo z_{1}=3+2 i pelo número complexo z_{2}=1+i. Apresente o resultado na forma a+b i.

Passo 1

O enunciado dá os dois números complexos e pede a divisão na forma a+bi:
  • z_{1}=3+2i.
  • z_{2}=1+i.
    O que se quer: calcular \dfrac{z_{1}}{z_{2}} e escrever o resultado na forma a+bi, isto é, identificar a e b.

Passo 2

Estratégia que vamos aplicar e por quê: para dividir complexos sem ficar com i no denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Seja \overline{z_{2}} o conjugado de z_{2}. Vamos usar a identidade
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\,\overline{z_{2}}}{z_{2}\,\overline{z_{2}}},
onde \overline{z_{2}} é obtido trocando o sinal da parte imaginária de z_{2}. Aqui z_{2}=1+i, logo \overline{z_{2}}=1-i. Essa multiplicação transforma o denominador em um número real (especificamente |z_{2}|^{2}), facilitando escrever o resultado na forma a+bi.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por \overline{z_{2}}=1-i:
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(3+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}.
Agora desenvolvemos o produto do numerador usando a distributiva (foi usado que i^{2}=-1):
(3+2i)(1-i)=3\cdot1+3\cdot(-i)+2i\cdot1+2i\cdot(-i).
Calculando termo a termo:
3\cdot1=3,\qquad 3\cdot(-i)=-3i,\qquad 2i\cdot1=2i,\qquad 2i\cdot(-i)=-2i^{2}.
Como i^{2}=-1, temos -2i^{2}=-2(-1)=2. Somando tudo:
3-3i+2i+2=(3+2)+(-3i+2i)=5 - i.
Portanto o numerador simplificado é 5-i.

Passo 4

Calculamos o denominador (1+i)(1-i). Novamente usamos a distributiva ou reconhecemos como produto de conjugados:
(1+i)(1-i)=1-i+i-i^{2}=1 - i^{2}.
Como i^{2}=-1, segue
1 - i^{2}=1-(-1)=2.
Observação: isso é igual a |z_{2}|^{2}, o quadrado do módulo de z_{2}, mas aqui só precisamos do valor numérico 2.

Passo 5

Agora dividimos cada parte do numerador pelo denominador real 2:
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{5 - i}{2}=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i.
Pronto — está na forma a+bi com a=\dfrac{5}{2} e b=-\dfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i

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