Questão 13. Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa e pontos de estagnação) sobre um cilindro circular causado por uma fonte a uma distância D>R do seu centro, sendo R o raio do cilindro. Utilize o script em octave para gerar as linhas de corrente. Você observou que a aplicação do teorema do círculo é análoga a adicionar singularidades extras
para satisfazer a condição de contorno da superfície do cinlindro? Que singularidades foram essas? Onde foram posicionadas e qual a orientação, no caso de dipolo ou vórtice?

Passo 1

O enunciado trata do escoamento potencial criado por uma fonte de intensidade \Lambda situada em z_0=D (com D>R) ao redor de um cilindro de raio R. Precisamos encontrar:
  1. O potencial complexo W(z).
  2. A velocidade complexa w(z)=\frac{\diff W}{\diff z}.
  3. Os pontos de estagnação w=0.
    Para isso usaremos o Teorema do Círculo (imagem de singularidades) de modo a impor a condição de contorno impermeável (\Re\{w\,\bar n\}=0 em |z|=R).

Passo 2

Escrevemos primeiramente o potencial da única fonte em z_0:
W_{\rm fonte}(z) =\frac{\Lambda}{2\pi}\,\ln\bigl(z-z_0\bigr).
Esse escoamento, isoladamente, gera penetração na superfície |z|=R, pois não satisfaz impermeabilidade.

Passo 3

Pelo Teorema do Círculo, a forma corrigida do potencial, que zera o fluxo normal em |z|=R, é
W(z) = \frac{\Lambda}{2\pi}\,\ln\bigl(z-z_0\bigr) -\frac{\Lambda}{2\pi}\,\ln\!\Bigl(z-\underbrace{\tfrac{R^2}{\overline{z_0}}}_{z'}\Bigr).
Como z_0=D real, tem-se \overline{z_0}=D e a singularidade imagem fica em
z' = \frac{R^2}{D}\,.
O segundo termo equivale a um sumidouro (mesma |\Lambda| e sinal oposto) colocado em z'.

Passo 4

A velocidade complexa é a derivada de W(z):
w(z) =\frac{\diff W}{\diff z} =\frac{\Lambda}{2\pi}\Bigl(\frac{1}{z-z_0}-\frac{1}{z-z'}\Bigr).
Verifica-se que, para |z|=R, a componente normal u_n=\Re\{w\,\overline{z}/|z|\} anula-se, satisfazendo impermeabilidade.

Passo 5

Para encontrar estagnações externas, impomos
w(z)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{z-z_0}=\frac{1}{z-z'}\,.
Isso só ocorre se z_0=z', mas como D>R temos z'\neq z_0. Logo, não há pontos de estagnação no domínio exterior ao cilindro.

Passo 6

Concluímos que aplicar o Teorema do Círculo equivale a “inserir” singularidades-imagem que eliminam penetração no cilindro. Em particular:
  • Para uma fonte em z_0, adiciona-se um sumidouro de mesma intensidade em z'=R^2/\overline{z_0}.
  • Se a singularidade original fosse um dipolo em z_0 com momento vetorial \mathbf{m}, a imagem seria outro dipolo em z' com momento
\mathbf{m}'=-\mathbf{m}\,\frac{R^2}{|z_0|^2},
orientado radialmente (isto é, ao longo da reta centro–original).
  • Se fosse um vórtice de circulação \Gamma em z_0, a imagem é um vórtice de circulação -\Gamma em z'.

Resposta

O potencial complexo do escoamento é
W(z) =\frac{\Lambda}{2\pi}\ln\bigl(z-D\bigr) -\frac{\Lambda}{2\pi}\ln\!\Bigl(z-\tfrac{R^2}{D}\Bigr),
a velocidade complexa
w(z) =\frac{\Lambda}{2\pi}\Bigl(\tfrac{1}{z-D}-\tfrac{1}{z-\tfrac{R^2}{D}}\Bigr),
e não existem pontos de estagnação fora do cilindro. As singularidades-imagem introduzidas são, no caso de fonte, um sumidouro em z'=R^2/D; no caso de dipolo, um dipolo imagem em z' com momento invertido radialmente; e, no caso de vórtice, um vórtice de sinal oposto em z'.

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