Questão 12. Determine o potencial complexo do escoamento sobre um cilindro circular causado por uma corrente uniforme horizontal de intesidade U_{\infty}. Compare o potencial complexo obtido com o caso do cilindro sem circulação estudado em sala.

Passo 1

O enunciado pede o potencial complexo do escoamento uniforme horizontal de intensidade U_{\infty} em torno de um cilindro de raio a. O conteúdo usado é a superposição de um escoamento uniforme e de um dipolo (doublet) fixado na origem, de modo a satisfazer a condição de não penetração na superfície r=a.

Passo 2

Começamos pelo potencial complexo do escoamento uniforme de intensidade U_{\infty} na direção x. Em coordenadas complexas z=x+iy, esse potencial é
w_{\text{uni}}(z)=U_{\infty}\,z,
pois \varphi=U_{\infty}x e \psi=U_{\infty}y.

Passo 3

Para impor a condição de contorno impermeável na superfície do cilindro r=a, adicionamos um dipolo de intensidade \mu na origem. O potencial complexo de um dipolo de intensidade \mu é
w_{\text{dip}}(z)=\frac{\mu}{z}.
A escolha de \mu deve anular a componente radial do escoamento em r=a. Para o cilindro, tem-se \mu=U_{\infty}\,a^{2}.

Passo 4

Superpondo os dois potenciais obtemos o potencial complexo total
w(z)=w_{\text{uni}}(z)+w_{\text{dip}}(z) =U_{\infty}\,z+\frac{U_{\infty}\,a^{2}}{z} =U_{\infty}\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr).

Passo 5

Comparando com o caso sem circulação estudado em sala, vemos que é exatamente o mesmo resultado:
  • Não há termo de circulação (logarítmico) porque \Gamma=0.
  • O único efeito do cilindro é o termo \displaystyle U_{\infty}a^{2}/z, ou seja, o dipolo de força U_{\infty}a^{2}.

Resposta

w(z)=U_{\infty}\Bigl(z+\frac{a^{2}}{z}\Bigr).

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