Questão 4 - Se uma pessoa, situada num determinado referencial inercial, observa um corpo se movendo com 10 \% da velocidade da luz, o aumento de sua massa, em relação à sua massa de repouso, será de aproximadamente:
a) 0,5 \%
c) 5 \%
b) 2 \%
d) 10 \%

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o aumento percentual da massa de um corpo, observado por uma pessoa em um referencial inercial, sabendo que o corpo se move com 10\% da velocidade da luz. Informações dadas e o que se pede:
  • velocidade do corpo: v = 0{,}10\,c;
  • massa de repouso do corpo: m_0 (dada como referência);
  • queremos o aumento percentual da massa observada m em relação a m_0, ou seja
\text{aumento percentual} = \frac{m - m_0}{m_0}\times 100\%.
Não faremos suposições adicionais; vamos usar apenas as informações acima.

Passo 2

Fórmula que relaciona a massa observada m com a massa de repouso m_0:
m = \gamma\, m_0,
onde o fator \gamma é dado por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
Explicando as variáveis:
  • m é a massa medida pelo observador em movimento relativo ao corpo;
  • m_0 é a massa de repouso (massa medida no referencial onde o corpo está em repouso);
  • v é a velocidade relativa entre observador e corpo;
  • c é a velocidade da luz;
  • \gamma é o fator que determina quanto a massa (e outras quantidades) muda com a velocidade.

Passo 3

Substituímos v = 0{,}10\,c na expressão de \gamma. Primeiro calculamos a razão quadrática:
\frac{v^2}{c^2} = (0{,}10)^2 = 0{,}01.
Logo
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}01}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}99}}.
Para avaliar \dfrac{1}{\sqrt{0{,}99}} de forma simples e precisa usamos uma expansão em séries (útil quando v\ll c):
(1 - x)^{-1/2} \approx 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} + \dots
com x = 0{,}01. Então
\gamma \approx 1 + \frac{0{,}01}{2} + \frac{3(0{,}01)^2}{8} = 1 + 0{,}005 + 0{,}0000375 = 1{,}0050375.

Passo 4

Agora calculamos o aumento percentual da massa:
\text{aumento percentual} = (\gamma - 1)\times 100\% \approx 0{,}0050375 \times 100\% = 0{,}50375\%.
Arredondando razoavelmente para duas casas significativas, isto dá aproximadamente 0{,}5\%. Intuitivamente: como v é apenas 10\% de c, o efeito relativístico na massa é muito pequeno.

Passo 5

Um atalho útil para a prova (fórmula de aproximação para velocidades pequenas) é usar a aproximação de primeira ordem
\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}.
Com \dfrac{v^2}{c^2}=0{,}01 temos
\text{aumento percentual} \approx \frac{1}{2}\cdot 0{,}01 \times 100\% = 0{,}5\%,
o que confirma o resultado acima de forma rápida e segura na hora da prova.

Resposta

a) 0{,}5\%

Exercícios relacionados