Questão 13. Se a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & -2 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 6 & -3\end{array}\right) é nilpotente de índice 3 então determine \sum_{i=1}^{2023} A^{i}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 5 & -2 \\[4pt] 1 & 2 & -1 \\[4pt] 3 & 6 & -3\end{pmatrix}
e afirma que A é nilpotente de índice 3. A pergunta é calcular
\sum_{i=1}^{2023} A^{i}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é nilpotente de índice 3, ou seja, A^{3}=\mathbf{0} e A^{2}\neq\mathbf{0}.
  • Quer-se a soma de potências de A desde i=1 até i=2023.]

Passo 2

Explicando a definição e a consequência imediata (didática):
  • Uma matriz M é chamada nilpotente de índice k se M^{k}=\mathbf{0} (a matriz nula) e M^{k-1}\neq\mathbf{0}.
  • Aqui, como A é nilpotente de índice 3, vale
A^{3}=\mathbf{0}.
  • Para qualquer expoente m\ge 3 tem-se A^{m}=A^{3}A^{m-3}=\mathbf{0}\cdot A^{m-3}=\mathbf{0}.
  • Logo, na soma pedida só contribuem os termos com i=1 e i=2; todos os termos de i\ge 3 são \mathbf{0}.
    Portanto
\sum_{i=1}^{2023} A^{i}=A + A^{2}.

Passo 3

Agora vamos calcular A^{2}. Lembrete prático sobre multiplicação de matrizes (passo-a-passo):
  • Se C=AB e A=(a_{ij}), B=(b_{ij}), então o elemento c_{ij} de C é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}b_{kj}.
Aqui vamos aplicar isso com B=A para obter A^{2}. Vou calcular linha a linha e coluna a coluna, mostrando as contas.

Passo 4

Cálculo de A^{2}=A\cdot A.
Primeira linha de A é (1,5,-2). As colunas de A são \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5\\\ 2\\\ 6\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -3\end{pmatrix}.
  • Entrada (1,1):
(1,1)\text{: }1\cdot1 + 5\cdot1 +(-2)\cdot3 = 1+5-6 = 0.
  • Entrada (1,2):
(1,2)\text{: }1\cdot5 + 5\cdot2 +(-2)\cdot6 = 5+10-12 = 3.
  • Entrada (1,3):
(1,3)\text{: }1\cdot(-2) + 5\cdot(-1) +(-2)\cdot(-3) = -2-5+6 = -1.
Segunda linha de A é (1,2,-1).
  • Entrada (2,1):
(2,1)\text{: }1\cdot1 + 2\cdot1 +(-1)\cdot3 = 1+2-3 = 0.
  • Entrada (2,2):
(2,2)\text{: }1\cdot5 + 2\cdot2 +(-1)\cdot6 = 5+4-6 = 3.
  • Entrada (2,3):
(2,3)\text{: }1\cdot(-2) + 2\cdot(-1) +(-1)\cdot(-3) = -2-2+3 = -1.
Terceira linha de A é (3,6,-3).
  • Entrada (3,1):
(3,1)\text{: }3\cdot1 + 6\cdot1 +(-3)\cdot3 = 3+6-9 = 0.
  • Entrada (3,2):
(3,2)\text{: }3\cdot5 + 6\cdot2 +(-3)\cdot6 = 15+12-18 = 9.
  • Entrada (3,3):
(3,3)\text{: }3\cdot(-2) + 6\cdot(-1) +(-3)\cdot(-3) = -6-6+9 = -3.
Assim
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 3 & -1 \\[4pt] 0 & 3 & -1 \\[4pt] 0 & 9 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas didática) de que A^{3}=\mathbf{0}:
  • Podemos multiplicar A^{2} por A ou observar que as linhas de A^{2} são múltiplos entre si (segunda linha igual à primeira, terceira igual a 3 vezes a primeira). Calculando a primeira linha de A^{2}A:
(0,3,-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}=0\cdot1+3\cdot1+(-1)\cdot3=3-3=0,
e de forma semelhante para as outras colunas obtemos zero. Como as demais linhas são múltiplos da primeira, todas as entradas de A^{3} serão zero. Logo A^{3}=\mathbf{0}, consistente com o enunciado.

Passo 6

Somar A e A^{2}:
  • Somando termo a termo:
A + A^{2}= \begin{pmatrix}1 & 5 & -2 \\[4pt] 1 & 2 & -1 \\[4pt] 3 & 6 & -3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 3 & -1 \\[4pt] 0 & 3 & -1 \\[4pt] 0 & 9 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 8 & -3 \\[4pt] 1 & 5 & -2 \\[4pt] 3 & 15 & -6\end{pmatrix}.
Portanto
\sum_{i=1}^{2023} A^{i}=A + A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 8 & -3 \\[4pt] 1 & 5 & -2 \\[4pt] 3 & 15 & -6\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 8 & -3 \\[4pt] 1 & 5 & -2 \\[4pt] 3 & 15 & -6\end{pmatrix}]

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