e afirma que A é nilpotente de índice 3. A pergunta é calcular
\sum_{i=1}^{2023} A^{i}.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é nilpotente de índice 3, ou seja, A^{3}=\mathbf{0} e A^{2}\neq\mathbf{0}.
Quer-se a soma de potências de A desde i=1 até i=2023.]
Passo 2
Explicando a definição e a consequência imediata (didática):
Uma matriz M é chamada nilpotente de índice k se M^{k}=\mathbf{0} (a matriz nula) e M^{k-1}\neq\mathbf{0}.
Aqui, como A é nilpotente de índice 3, vale
A^{3}=\mathbf{0}.
Para qualquer expoente m\ge 3 tem-se A^{m}=A^{3}A^{m-3}=\mathbf{0}\cdot A^{m-3}=\mathbf{0}.
Logo, na soma pedida só contribuem os termos com i=1 e i=2; todos os termos de i\ge 3 são \mathbf{0}.
Portanto
\sum_{i=1}^{2023} A^{i}=A + A^{2}.
Passo 3
Agora vamos calcular A^{2}. Lembrete prático sobre multiplicação de matrizes (passo-a-passo):
Se C=AB e A=(a_{ij}), B=(b_{ij}), então o elemento c_{ij} de C é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}b_{kj}.
Aqui vamos aplicar isso com B=A para obter A^{2}. Vou calcular linha a linha e coluna a coluna, mostrando as contas.
Passo 4
Cálculo de A^{2}=A\cdot A.
Primeira linha de A é (1,5,-2). As colunas de A são \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5\\\ 2\\\ 6\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -3\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional, mas didática) de que A^{3}=\mathbf{0}:
Podemos multiplicar A^{2} por A ou observar que as linhas de A^{2} são múltiplos entre si (segunda linha igual à primeira, terceira igual a 3 vezes a primeira). Calculando a primeira linha de A^{2}A:
e de forma semelhante para as outras colunas obtemos zero. Como as demais linhas são múltiplos da primeira, todas as entradas de A^{3} serão zero. Logo A^{3}=\mathbf{0}, consistente com o enunciado.