Questão 15. Se A, B e C são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A B+C^{t}-2 C=B A+D^{t} onde D=\left(\begin{array}{cc}3 & 5 \\\\ 4 & -1\end{array}\right). Encontre o valor de \operatorname{Tr}\text{(C)}.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • São dadas matrizes quadradas A,B,C de ordem 2 que satisfazem a igualdade
A B + C^{t} - 2 C = B A + D^{t},
onde
D=\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix}.
  • A pergunta é: encontrar o valor de \operatorname{Tr}\text{(C)}, isto é, a soma dos elementos da diagonal de C.]

Passo 2

Lembrete das propriedades do traço que vamos usar — explicadas passo a passo.
  • Linearidade do traço: para matrizes X,Y e escalar \alpha,
\operatorname{Tr}(X+Y)=\operatorname{Tr}(X)+\operatorname{Tr}(Y), \qquad \operatorname{Tr}(\alpha X)=\alpha\operatorname{Tr}(X).
Isto vem do definição \operatorname{Tr}(X)=\sum_{i}X_{ii}, porque somas e multiplicações por escalar passam para dentro da soma.
  • Propriedade cíclica para produto de duas matrizes quadradas compatíveis:
\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA).
Explicação curta: escrevendo por componentes,
\operatorname{Tr}(AB)=\sum_{i}(AB)_{ii}=\sum_{i}\sum_{k}A_{ik}B_{ki}=\sum_{k}\sum_{i}B_{ki}A_{ik}=\sum_{k}(BA)_{kk}=\operatorname{Tr}(BA).
Essa identidade vale sempre que os produtos AB e BA estão definidos (no caso quadrado, sempre ok).
  • Traço da transposta:
\operatorname{Tr}(X^{t})=\operatorname{Tr}(X),
pois transpor troca X_{ii} com X_{ii} (os elementos da diagonal permanecem iguais).

Passo 3

Reescrever a equação dada agrupando termos para facilitar aplicar traço.
Partimos de
A B + C^{t} - 2 C = B A + D^{t}.
Subtraindo BA de ambos os lados e agrupando os termos envolvendo C, obtemos
A B - B A + C^{t} - 2 C = D^{t}.

Passo 4

Aplicar o traço em ambos os lados da igualdade obtida e simplificar usando as propriedades do Passo 2.
Tomando traço em
A B - B A + C^{t} - 2 C = D^{t},
temos, por linearidade,
\operatorname{Tr}(A B - B A) + \operatorname{Tr}(C^{t}) - 2\operatorname{Tr}\text{(C)} = \operatorname{Tr}(D^{t}).
Agora use as propriedades:
  • \operatorname{Tr}(A B - B A)=\operatorname{Tr}(A B)-\operatorname{Tr}(B A)=0, pois \operatorname{Tr}(A B)=\operatorname{Tr}(B A).
  • \operatorname{Tr}(C^{t})=\operatorname{Tr}\text{(C)}.
Substituindo,
0 + \operatorname{Tr}\text{(C)} - 2\operatorname{Tr}\text{(C)} = \operatorname{Tr}(D^{t}).
Logo
-\operatorname{Tr}\text{(C)}=\operatorname{Tr}(D^{t}).

Passo 5

Calcular \operatorname{Tr}(D^{t}) a partir de D.
Como \operatorname{Tr}(D^{t})=\operatorname{Tr}(D) e a matriz D é
D=\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix},
temos
\operatorname{Tr}(D)=3+(-1)=2.
Portanto \operatorname{Tr}(D^{t})=2.]

Passo 6

Concluir o valor de \operatorname{Tr}\text{(C)}.
Da equação do Passo 4 temos -\operatorname{Tr}\text{(C)}=\operatorname{Tr}(D^{t}). Substituindo o valor do Passo 5,
-\operatorname{Tr}\text{(C)}=2 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{Tr}\text{(C)}=-2.
Força aí — já era! Você podia resolver isso na hora da prova lembrando das propriedades do traço, especialmente \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA) que simplifica muito.

Resposta

-2

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