Questão 16. Sendo A=\left(\begin{array}{cc}5 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 3 \\\\ 2 & 1\end{array}\right), calcule \operatorname{Tr}(A B+B A).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2:
A=\begin{pmatrix}5 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
O que se pede: calcular \operatorname{Tr}(A B+B A). Ou seja, encontrar a soma das entradas diagonais da matriz A B+B A.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é a traço (trace) de uma matriz e duas propriedades úteis.
Definição: para uma matriz quadrada M de ordem n, \operatorname{Tr}(M) é a soma das entradas da diagonal principal:
\operatorname{Tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} M_{ii}.
Propriedades usadas aqui (sem jargão):
  1. Linearidade: para matrizes X,Y da mesma ordem,
\operatorname{Tr}(X+Y)=\operatorname{Tr}(X)+\operatorname{Tr}(Y), \qquad \operatorname{Tr}(cX)=c\,\operatorname{Tr}(X)\\ \text{para escalar }c.
  1. Propriedade cíclica (muito útil): para matrizes quadradas X,Y de mesma ordem,
\operatorname{Tr}(X Y)=\operatorname{Tr}(Y X).
Pequena justificativa da propriedade cíclica: escrevendo a definição,
\operatorname{Tr}(X Y)=\sum_{i}(X Y)_{ii}=\sum_{i}\sum_{j}X_{ij}Y_{ji}=\sum_{j}\sum_{i}Y_{ji}X_{ij}=\operatorname{Tr}(Y X).

Passo 3

Aplicando as propriedades ao problema:
\operatorname{Tr}(A B+B A)=\operatorname{Tr}(A B)+\operatorname{Tr}(B A).
Pela propriedade cíclica \operatorname{Tr}(B A)=\operatorname{Tr}(A B). Logo
\operatorname{Tr}(A B+B A)=2\,\operatorname{Tr}(A B).
Portanto basta calcular \operatorname{Tr}(A B).

Passo 4

Agora calculamos a matriz A B multiplicando A por B passo a passo (regra: linha de A vezes coluna de B):
Entrada (1,1):
(AB)_{11}=5\cdot(-1)+2\cdot 2=-5+4=-1.
Entrada (1,2):
(AB)_{12}=5\cdot 3+2\cdot 1=15+2=17.
Entrada (2,1):
(AB)_{21}=3\cdot(-1)+(-1)\cdot 2=-3-2=-5.
Entrada (2,2):
(AB)_{22}=3\cdot 3+(-1)\cdot 1=9-1=8.
Logo
A B=\begin{pmatrix}-1 & 17 \\[4pt] -5 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos a traço de A B somando as entradas diagonais:
\operatorname{Tr}(A B)=(A B)_{11}+(A B)_{22}=-1+8=7.

Passo 6

Usando o que obtivemos no Passo 3:
\operatorname{Tr}(A B+B A)=2\,\operatorname{Tr}(A B)=2\cdot 7.

Resposta

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