Questão 11 (IME - 1996). Determine uma matriz não singular P que satisfaça a equação matricial P^{-1} A=\left(\begin{array}{cc}6 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right) onde A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 5 & 4\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 4\end{pmatrix}
e pede uma matriz não singular P tal que
P^{-1}A=\begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
As informações relevantes são:
  • A matriz alvo (chamarei de D) é \displaystyle D=\begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
  • A matriz A é dada acima.
  • Queremos encontrar P invertível (não singular) que satisfaça a igualdade.
    O que o enunciado pede, portanto, é determinar explicitamente P tal que P^{-1}A=D.]

Passo 2

Partindo da equação
P^{-1}A=D,
como aparece P^{-1} a própria existência de P^{-1} garante que P é invertível; assim podemos multiplicar à esquerda por P para obter
A=PD.
Aqui a operação é simplesmente álgebra matricial: multiplicar ambos os lados de P^{-1}A=D pela matriz P A=PD.

Passo 3

A partir de A=PD isolamos P. Como D é uma matriz diagonal com entradas 6 e -1 (nenhuma delas zero), D é invertível e existe D^{-1}. Multiplicando à direita por D^{-1} obtemos
P=AD^{-1}.
Vou calcular D^{-1}. Para uma matriz diagonal \displaystyle D=\begin{pmatrix}6&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix} a inversa é a diagonal com os inversos das entradas:
D^{-1}=\begin{pmatrix}1/6 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos P=AD^{-1}. Como D^{-1} é diagonal, multiplicar A por D^{-1} equivale a escalar as colunas de A pelos elementos da diagonal de D^{-1}:
  • primeira coluna de P = (1/6) vezes a primeira coluna de A,
  • segunda coluna de P = (-1) vezes a segunda coluna de A.
Primeira coluna:
\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/6\\[4pt]5/6\end{pmatrix}.
Segunda coluna:
-1\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Portanto
P=\begin{pmatrix}1/6 & -2 \\[4pt] 5/6 & -4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação de que P é não singular (invertível). Para uma 2\times2 a determinante é \det(P)=ad-bc se P=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}. Aqui
\det(P)=\frac{1}{6}\cdot(-4)-(-2)\cdot\frac{5}{6}=-\frac{4}{6}+\frac{10}{6}=\frac{6}{6}=1.
Como \det(P)=1\neq0, P é invertível, como exigido.
Também podemos checar que a equação original fica satisfeita observando que PD=A: multiplicando as colunas de P por 6 e por -1 respectivamente volta-se a obter as colunas de A, logo P^{-1}A=D é verdadeira.]

Resposta

\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6} & -2 \\[6pt] \dfrac{5}{6} & -4\end{pmatrix}]

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