A matriz alvo (chamarei de D) é \displaystyle D=\begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
A matriz A é dada acima.
Queremos encontrar P invertível (não singular) que satisfaça a igualdade.
O que o enunciado pede, portanto, é determinar explicitamente P tal que P^{-1}A=D.]
Passo 2
Partindo da equação
P^{-1}A=D,
como aparece P^{-1} a própria existência de P^{-1} garante que P é invertível; assim podemos multiplicar à esquerda por P para obter
A=PD.
Aqui a operação é simplesmente álgebra matricial: multiplicar ambos os lados de P^{-1}A=D pela matriz P dá A=PD.
Passo 3
A partir de A=PD isolamos P. Como D é uma matriz diagonal com entradas 6 e -1 (nenhuma delas zero), D é invertível e existe D^{-1}. Multiplicando à direita por D^{-1} obtemos
P=AD^{-1}.
Vou calcular D^{-1}. Para uma matriz diagonal \displaystyle D=\begin{pmatrix}6&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix} a inversa é a diagonal com os inversos das entradas:
Verificação de que P é não singular (invertível). Para uma 2\times2 a determinante é \det(P)=ad-bc se P=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}. Aqui
Como \det(P)=1\neq0, P é invertível, como exigido.
Também podemos checar que a equação original fica satisfeita observando que PD=A: multiplicando as colunas de P por 6 e por -1 respectivamente volta-se a obter as colunas de A, logo P^{-1}A=D é verdadeira.]