QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Um projétil é lançado para cima a partir do solo com velocidade de
. Considerando que o vento lhe forneça uma aceleração horizontal constante de
e que a aceleração da gravidade seja constante e igual a
(para baixo), determine a que distância do ponto de lançamento o projétil atinge o solo. Justifique sua resposta.
Um projétil é lançado para cima a partir do solo com velocidade de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
-
Dados fornecidos:
- Velocidade inicial (para cima, a partir do solo):
. - Aceleração horizontal constante, dada pelo vento:
. - Aceleração da gravidade (para baixo):
. - Posição inicial (solo):
e . - Assume-se que o lançamento é vertical para cima (ou seja, velocidade inicial horizontal nula).
- Velocidade inicial (para cima, a partir do solo):
-
O que é pedido:
- Determinar a que distância do ponto de lançamento (distância horizontal) o projétil atinge o solo.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas clássico para movimentos planos:
- Eixo vertical
com positivo para cima e origem no solo ( ). - Eixo horizontal
com positivo na direção do vento e origem no ponto de lançamento ( ).
As equações do movimento (cinemática com aceleração constante) são:
Explicando as variáveis:
-
e são as posições em função do tempo. -
e são as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. -
e são as componentes da aceleração (aqui é a do vento e ).
No nosso caso:
Passo 3
Para achar a distância horizontal percorrida precisamos do tempo de voo
(tempo até voltar ao solo). Esse tempo satisfaz
com
. Usando a equação vertical:
Colocando
:
Isso é uma equação com fator
, fatorando:
A solução trivial
é o instante inicial; a solução física que queremos é a outra:
Comentário didático: essa fórmula é padrão para voo vertical simétrico — o projétil sobe e depois desce, total de tempo é o dobro do tempo de subida
.
Passo 4
Substituímos os valores numéricos para obter
:
(Usei divisão direta; arredondei o resultado em quatro casas decimais para manter precisão prática.)
Passo 5
Agora calculamos a posição horizontal no instante
. Como
, a equação horizontal fica
Substituindo
:
Podemos substituir
e simplificar algebraicamente (útil como fórmula pronta):
Agora com números (vou calcular via
com
já obtido):
Arredondando de forma prática:
.
Passo 6
Justificativa final (em linguagem simples): a componente vertical do movimento determina quanto tempo o projétil fica no ar; enquanto isso, o vento, atuando como uma aceleração horizontal constante, desloca o projétil horizontalmente com aceleração
. Como as componentes horizontal e vertical se separam (não há acoplamento aqui além de compartilhar o mesmo tempo), basta calcular o tempo de voo pela vertical e inserir na fórmula da posição horizontal. Assumi que não há outras forças complicando além do vento constante e da gravidade constante.