QUESTÃO 13: (Mecânica Geral)
Um projétil é lançado para cima a partir do solo com velocidade de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que o vento lhe forneça uma aceleração horizontal constante de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e que a aceleração da gravidade seja constante e igual a 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} (para baixo), determine a que distância do ponto de lançamento o projétil atinge o solo. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial (para cima, a partir do solo): \,v_0=50\\ \mathrm{m/s}.
    • Aceleração horizontal constante, dada pelo vento: \,a_x=1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
    • Aceleração da gravidade (para baixo): \,g=9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
    • Posição inicial (solo): \,x_0=0 e \,y_0=0.
    • Assume-se que o lançamento é vertical para cima (ou seja, velocidade inicial horizontal nula).
  • O que é pedido:
    • Determinar a que distância do ponto de lançamento (distância horizontal) o projétil atinge o solo.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas clássico para movimentos planos:
  • Eixo vertical y com y positivo para cima e origem no solo ( y_0=0).
  • Eixo horizontal x com x positivo na direção do vento e origem no ponto de lançamento ( x_0=0).
As equações do movimento (cinemática com aceleração constante) são:
x(t)=x_0+v_{0x}\,t+\tfrac{1}{2}a_x t^2
y(t)=y_0+v_{0y}\,t+\tfrac{1}{2}a_y t^2
Explicando as variáveis:
  • x(t) e y(t) são as posições em função do tempo.
  • v_{0x} e v_{0y} são as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial.
  • a_x e a_y são as componentes da aceleração (aqui a_x é a do vento e a_y=-g).
    No nosso caso:
x_0=0,\quad y_0=0,\quad v_{0x}=0,\quad v_{0y}=v_0=50\\ \mathrm{m/s},\quad a_x=1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},\quad a_y=-g=-9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 3

Para achar a distância horizontal percorrida precisamos do tempo de voo t_f (tempo até voltar ao solo). Esse tempo satisfaz y(t_f)=0 com t_f>0. Usando a equação vertical:
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^2.
Colocando y(t_f)=0:
v_{0} t_f - \tfrac{1}{2}g t_f^2 = 0.
Isso é uma equação com fator t_f, fatorando:
t_f\bigl(v_0 - \tfrac{1}{2}g t_f\bigr)=0.
A solução trivial t_f=0 é o instante inicial; a solução física que queremos é a outra:
v_0 - \tfrac{1}{2}g t_f = 0 \quad\Rightarrow\quad t_f=\frac{2 v_0}{g}.
Comentário didático: essa fórmula é padrão para voo vertical simétrico — o projétil sobe e depois desce, total de tempo é o dobro do tempo de subida v_0/g.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos para obter t_f:
t_f=\frac{2\cdot 50}{9,81}=\frac{100}{9,81}\\ \mathrm{s}\approx 10,1937\\ \mathrm{s}.
(Usei divisão direta; arredondei o resultado em quatro casas decimais para manter precisão prática.)

Passo 5

Agora calculamos a posição horizontal no instante t_f. Como v_{0x}=0, a equação horizontal fica
x(t)=\tfrac{1}{2}a_x t^2.
Substituindo t=t_f:
x_f=\tfrac{1}{2}a_x t_f^2.
Podemos substituir t_f=\dfrac{2v_0}{g} e simplificar algebraicamente (útil como fórmula pronta):
x_f=\tfrac{1}{2}a_x\left(\frac{2v_0}{g}\right)^2 =\tfrac{1}{2}a_x\cdot\frac{4v_0^2}{g^2} =\frac{2 a_x v_0^2}{g^2}.
Agora com números (vou calcular via x_f=\tfrac{1}{2}a_x t_f^2 com t_f já obtido):
t_f^2=\left(\frac{100}{9,81}\right)^2=\frac{10000}{9,81^2}=\frac{10000}{96,2361}\approx 103,8827,
x_f=\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 103,8827\\ \mathrm{m}\approx 51,9414\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática: x_f\approx 51,94\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Justificativa final (em linguagem simples): a componente vertical do movimento determina quanto tempo o projétil fica no ar; enquanto isso, o vento, atuando como uma aceleração horizontal constante, desloca o projétil horizontalmente com aceleração a_x. Como as componentes horizontal e vertical se separam (não há acoplamento aqui além de compartilhar o mesmo tempo), basta calcular o tempo de voo pela vertical e inserir na fórmula da posição horizontal. Assumi que não há outras forças complicando além do vento constante e da gravidade constante.

Resposta

51,94\\ \mathrm{m}

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