Questão 13. Parametrize as curvas planas abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede que se ache uma parametrização da curva
Informações importantes que temos:
- A equação
descreve um círculo centrado na origem com raio . - A condição
restringe o arco do círculo à parte com ordenada maior ou igual a .
A tarefa: apresentar uma função vetorial (parametrização) que percorra exatamente esse arco.
Passo 2
Idéia padrão para parametrizar um círculo centrado na origem: usar as funções cosseno e seno porque elas satisfazem a identidade
. Assim, uma parametrização geral do círculo de raio
é
onde o parâmetro
varia em um intervalo de comprimento
para cobrir todo o círculo. Aqui
representa o ângulo polar medido a partir do eixo
positivo.
Passo 3
Agora impomos a restrição
na parametrização. Substituindo
temos a desigualdade
Vamos resolver
para localizar os limites do intervalo de
. Sabendo os valores usuais do seno:
Como
ocorre entre esses dois ângulos na semicircunferência superior, o conjunto de soluções mais simples (no intervalo principal) é
Passo 4
Verificação dos extremos (pontos iniciais e finais do arco):
- Para
:
logo o ponto é
.
- Para
:
logo o ponto é
.
Esses dois pontos coincidem com as interseções do círculo com a reta
, portanto o intervalo de
encontrado está correto e descreve o arco desejado.
Esses dois pontos coincidem com as interseções do círculo
Passo 5
Comentário prático: a parametrização em termos de
é a mais direta. Se for necessário usar um parâmetro
que varia em
(por exemplo para integrar numericamente), pode-se reparametrizar linearmente por
com
, e então usar
.