Questão 13. Parametrize as curvas planas abaixo:
C_{3}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}=4, y \geq 1\right\};

Passo 1

O enunciado pede que se ache uma parametrização da curva
C_{3}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=4,\; y\geq 1\}.
Informações importantes que temos:
  • A equação x^{2}+y^{2}=4 descreve um círculo centrado na origem com raio 2.
  • A condição y\geq 1 restringe o arco do círculo à parte com ordenada maior ou igual a 1.
    A tarefa: apresentar uma função vetorial (parametrização) que percorra exatamente esse arco.

Passo 2

Idéia padrão para parametrizar um círculo centrado na origem: usar as funções cosseno e seno porque elas satisfazem a identidade \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Assim, uma parametrização geral do círculo de raio 2 é
x=2\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta,
onde o parâmetro \theta varia em um intervalo de comprimento 2\pi para cobrir todo o círculo. Aqui \theta representa o ângulo polar medido a partir do eixo x positivo.

Passo 3

Agora impomos a restrição y\geq 1 na parametrização. Substituindo y=2\sin\theta temos a desigualdade
2\sin\theta \geq 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta \geq \tfrac{1}{2}.
Vamos resolver \sin\theta=\tfrac{1}{2} para localizar os limites do intervalo de \theta. Sabendo os valores usuais do seno:
\sin\theta=\tfrac{1}{2}\quad\text{quando}\quad \theta=\tfrac{\pi}{6}\\ \text{ou}\\ \theta=\tfrac{5\pi}{6}\\ (\text{no intervalo }[0,\pi]).
Como \sin\theta\geq\tfrac{1}{2} ocorre entre esses dois ângulos na semicircunferência superior, o conjunto de soluções mais simples (no intervalo principal) é
\theta\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right].

Passo 4

Verificação dos extremos (pontos iniciais e finais do arco):
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{6}:
x=2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},\qquad y=2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\tfrac{1}{2}=1,
logo o ponto é \left(\sqrt{3},1\right).
  • Para \theta=\tfrac{5\pi}{6}:
x=2\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=2\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3},\qquad y=2\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=2\cdot\tfrac{1}{2}=1,
logo o ponto é \left(-\sqrt{3},1\right).
Esses dois pontos coincidem com as interseções do círculo x^{2}+y^{2}=4 com a reta y=1, portanto o intervalo de \theta encontrado está correto e descreve o arco desejado.

Passo 5

Comentário prático: a parametrização em termos de \theta é a mais direta. Se for necessário usar um parâmetro t que varia em [0,1] (por exemplo para integrar numericamente), pode-se reparametrizar linearmente por
\theta(t)=\tfrac{\pi}{6}+t\cdot\left(\tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}+t\cdot\tfrac{2\pi}{3},
com t\in[0,1], e então usar x(t)=2\cos\theta(t),\;y(t)=2\sin\theta(t).

Resposta

\mathbf{r}(\theta)=\bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta\bigr),\quad \theta\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right]

Exercícios relacionados