Questão 17. Determine se os subconjuntos do plano dados abaixo são ou não: aberto, conexo e/ou simplesmente conexo. Esboçá-los.
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Passo 1
O enunciado dá o conjunto
ou seja, o plano
com a reta vertical (o eixo
) removida. Pergunta-se se
é (1) aberto, (2) conexo e (3) simplesmente conexo. Também pede-se um esboço (desenho) do conjunto.
Informações relevantes fornecidas:
- Todos os pontos do plano cuja coordenada
é diferente de zero pertencem a . - O eixo
é exatamente o conjunto , e esses pontos não pertencem a .
Passo 2
Definição de aberto em
e verificação de que
é aberto.
- Lembra: um subconjunto
é aberto se, para todo ponto , existe um raio tal que a bola aberta centrada em de raio está totalmente contida em . - Tome um ponto genérico
. Por hipótese . Defina . - Se
satisfaz então, em particular, . Assim Logo e, portanto, . Assim a bola de raio centrada em está contida em . - Como isso vale para qualquer ponto de
, concluímos que é aberto.
Observação alternativa curta: a aplicação
dada por
é contínua; o conjunto
é fechado em
; então
é fechado, e seu complemento
é aberto. (Isto é uma vista rápida do mesmo argumento.)
Passo 3
Definição de conjunto conexo e verificação de que
não é conexo.
- Lembra: um conjunto é conexo se não pode ser escrito como união de dois subconjuntos abertos (no subespaço) disjuntos e não vazios. Intuitivamente, um conjunto conexo é “uma peça só”.
- Observe a separação natural de
em duas partes: Temos , , e ambos e são não vazios. - Cada um de
e é aberto (mesmo argumento do passo anterior aplicado a ou ). Logo é união de duas partes abertas e disjuntas, portanto não é conexo. - Conclusão mais concreta:
tem exatamente duas componentes conexas (os dois semiplanos): o semiplano à direita do eixo ( ) e o semiplano à esquerda ( ).
Complemento intuitivo: qualquer caminho contínuo que ligue um ponto com
a um ponto com
teria de atravessar uma posição com
, isto é, o eixo
; mas esses pontos não pertencem a
, logo não existe tal caminho dentro de
. Isso mostra também que os dois lados são separados.
Passo 4
Definição de simplesmente conexo e conclusão para
; observações sobre as componentes.
- Lembra: um conjunto é simplesmente conexo se for conexo e toda curva fechada contínua nele puder ser continuamente deformada (homotopicamente) a um ponto dentro do próprio conjunto. Em muitas provas práticas, usamos que “conexo + sem buracos” equivale a simplesmente conexo.
- Como
não é conexo (Passo 3), a definição exige que seja conexo para poder ser simplesmente conexo; portanto não é simplesmente conexo. - Entretanto, é útil observar que cada componente (
e ) é simplesmente conexa: cada semiplano ou é um conjunto convexo (entre dois pontos do semiplano o segmento está todo no semiplano), e conjuntos convexos são simplesmente conexos. Explicando por que: dado uma curva fechada no conjunto convexo e um ponto no mesmo conjunto, a homotopia linear contrai a curva para permanecendo inteiramente no conjunto (porque combinações convexas permanecem no conjunto). Isso mostra que dentro de cada componente toda curva é contrátil. - Resumo:
não é simplesmente conexo (porque não é conexo). Cada componente e é, por sua vez, simplesmente conexa.
Passo 5
Como esboçar
(instruções para o desenho) — um guia rápido para você reproduzir na folha da prova.
- Desenhe os eixos coordenados usualmente.
- Trace o eixo
(reta vertical ) como uma linha pontilhada ou riscá-la para indicar que essa reta NÃO pertence ao conjunto. - As duas regiões visíveis (à direita,
, e à esquerda, ) representam . Pode sombrear levemente os dois semiplanos ou apenas marcar com setas “ ” e “ ”. - Identifique e escreva que
é a união dos dois semiplanos que não incluem o eixo .
Força aí — é um desenho simples: plano inteiro, risca o eixo vertical e pronto.
Resposta
Aberto: Sim.
Conexo: Não.
Simplesmente conexo: Não.
Conexo: Não.
Simplesmente conexo: Não.