Questão 17. Determine se os subconjuntos do plano dados abaixo são ou não: aberto, conexo e/ou simplesmente conexo. Esboçá-los.
B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \neq 0\right\};

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \;|\; x\neq 0\},
ou seja, o plano \mathbb{R}^2 com a reta vertical (o eixo y) removida. Pergunta-se se B é (1) aberto, (2) conexo e (3) simplesmente conexo. Também pede-se um esboço (desenho) do conjunto.
Informações relevantes fornecidas:
  • Todos os pontos do plano cuja coordenada x é diferente de zero pertencem a B.
  • O eixo y é exatamente o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x=0\}, e esses pontos não pertencem a B.

Passo 2

Definição de aberto em \mathbb{R}^2 e verificação de que B é aberto.
  • Lembra: um subconjunto U\subset\mathbb{R}^2 é aberto se, para todo ponto p\in U, existe um raio r>0 tal que a bola aberta centrada em p de raio r está totalmente contida em U.
  • Tome um ponto genérico (x_0,y_0)\in B. Por hipótese x_0\neq 0. Defina r=\dfrac{|x_0|}{2}>0.
  • Se (x,y) satisfaz \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<r então, em particular, |x-x_0|<r. Assim |x| \ge |x_0|-|x-x_0| > |x_0|-r = |x_0|-\frac{|x_0|}{2}=\frac{|x_0|}{2}>0.Logo x\neq 0 e, portanto, (x,y)\in B. Assim a bola de raio r centrada em (x_0,y_0) está contida em B.
  • Como isso vale para qualquer ponto de B, concluímos que B é aberto.
Observação alternativa curta: a aplicação f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=x é contínua; o conjunto \{0\} é fechado em \mathbb{R}; então f^{-1}(\{0\})=\{(x,y):x=0\} é fechado, e seu complemento B é aberto. (Isto é uma vista rápida do mesmo argumento.)

Passo 3

Definição de conjunto conexo e verificação de que B não é conexo.
  • Lembra: um conjunto é conexo se não pode ser escrito como união de dois subconjuntos abertos (no subespaço) disjuntos e não vazios. Intuitivamente, um conjunto conexo é “uma peça só”.
  • Observe a separação natural de B em duas partes: B_+ = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0\},\qquad B_- = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x<0\}.Temos B=B_+\cup B_-, B_+\cap B_-=\varnothing, e ambos B_+ e B_- são não vazios.
  • Cada um de B_+ e B_- é aberto (mesmo argumento do passo anterior aplicado a x_0>0 ou x_0<0). Logo B é união de duas partes abertas e disjuntas, portanto B não é conexo.
  • Conclusão mais concreta: B tem exatamente duas componentes conexas (os dois semiplanos): o semiplano à direita do eixo y ( x>0) e o semiplano à esquerda ( x<0).
Complemento intuitivo: qualquer caminho contínuo que ligue um ponto com x>0 a um ponto com x<0 teria de atravessar uma posição com x=0, isto é, o eixo y; mas esses pontos não pertencem a B, logo não existe tal caminho dentro de B. Isso mostra também que os dois lados são separados.

Passo 4

Definição de simplesmente conexo e conclusão para B; observações sobre as componentes.
  • Lembra: um conjunto é simplesmente conexo se for conexo e toda curva fechada contínua nele puder ser continuamente deformada (homotopicamente) a um ponto dentro do próprio conjunto. Em muitas provas práticas, usamos que “conexo + sem buracos” equivale a simplesmente conexo.
  • Como B não é conexo (Passo 3), a definição exige que seja conexo para poder ser simplesmente conexo; portanto B não é simplesmente conexo.
  • Entretanto, é útil observar que cada componente ( B_+ e B_-) é simplesmente conexa: cada semiplano x>0 ou x<0 é um conjunto convexo (entre dois pontos do semiplano o segmento está todo no semiplano), e conjuntos convexos são simplesmente conexos. Explicando por que: dado uma curva fechada \gamma(t) no conjunto convexo e um ponto p no mesmo conjunto, a homotopia linear H(t,s)=(1-s)\gamma(t)+s p,\qquad 0\le s\le1,\;0\le t\le1,contrai a curva para p permanecendo inteiramente no conjunto (porque combinações convexas permanecem no conjunto). Isso mostra que dentro de cada componente toda curva é contrátil.
  • Resumo: B não é simplesmente conexo (porque não é conexo). Cada componente B_+ e B_- é, por sua vez, simplesmente conexa.

Passo 5

Como esboçar B (instruções para o desenho) — um guia rápido para você reproduzir na folha da prova.
  • Desenhe os eixos coordenados usualmente.
  • Trace o eixo y (reta vertical x=0) como uma linha pontilhada ou riscá-la para indicar que essa reta NÃO pertence ao conjunto.
  • As duas regiões visíveis (à direita, x>0, e à esquerda, x<0) representam B. Pode sombrear levemente os dois semiplanos ou apenas marcar com setas “ x>0” e “ x<0”.
  • Identifique e escreva que B é a união dos dois semiplanos que não incluem o eixo y.
Força aí — é um desenho simples: plano inteiro, risca o eixo vertical e pronto.

Resposta

Aberto: Sim.
Conexo: Não.
Simplesmente conexo: Não.

Exercícios relacionados