Questão 7. Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas aplicadas ao campo vetorial dado:
- Calcular o divergente de
. - Calcular o rotacional (curl) de
.
O campo vetorial fornecido (peguei diretamente do enunciado) é
Vou chamar as componentes de
Passo 2
Definições e fórmulas que usarei (explicando cada símbolo):
- O divergente de um campo
em coordenadas cartesianas é
onde
significa “derivar parcialmente em relação a
”, isto é, tratar
e
como constantes e derivar em relação a
.
- O rotacional (curl) é
Cada termo é uma diferença de derivadas parciais; por exemplo
deriva
em relação a
, mantendo
fixos.
Observação sobre
: a derivada em relação a
de
(para
) é
Portanto, os resultados que envolvem essa derivada são válidos para
(para
há questões de domínio da raiz).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para o divergente:
-
-
(porque é constante ao derivar em , e ). -
(a derivada de em relação a é zero, pois não depende de ).
Passo 4
Montar o divergente somando os termos:
Comentário rápido: este resultado é válido para
por causa da presença de
e de sua derivada. Em
a derivada de
é singular.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional (uma a uma, com passos claros):
-
(porque e é constante em relação a ). -
. -
-
-
-
Passo 6
Montar cada componente do rotacional usando as fórmulas:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto
Passo 7
Checagem rápida (sanity check): é esperado que
. Calculando:
logo a verificação bate — bom sinal de que os cálculos estão consistentes.