Questão 7. Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x, y, z)=\vec{i}+(x+y z) \vec{j}+(x y-\sqrt{z}) \vec{k};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas aplicadas ao campo vetorial dado:
  • Calcular o divergente de \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z).
  • Calcular o rotacional (curl) de \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z).
O campo vetorial fornecido (peguei diretamente do enunciado) é
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z)=\vec{i}+(x+y z)\,\vec{j}+(x y-\sqrt{z})\,\vec{k}.
Vou chamar as componentes de
F_x(x,y,z)=1,\qquad F_y(x,y,z)=x+y z,\qquad F_z(x,y,z)=x y-\sqrt{z}.

Passo 2

Definições e fórmulas que usarei (explicando cada símbolo):
  • O divergente de um campo \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas é
\nabla\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z},
onde \partial/\partial x significa “derivar parcialmente em relação a x”, isto é, tratar y e z como constantes e derivar em relação a x.
  • O rotacional (curl) é
\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\Big)\vec{i}+\Big(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\Big)\vec{j}+\Big(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big)\vec{k}.
Cada termo é uma diferença de derivadas parciais; por exemplo \partial F_z/\partial y deriva F_z em relação a y, mantendo x,z fixos.
Observação sobre \sqrt{z}: a derivada em relação a z de \sqrt{z} (para z>0) é
\frac{d}{dz}\sqrt{z}=\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Portanto, os resultados que envolvem essa derivada são válidos para z>0 (para z\le 0 há questões de domínio da raiz).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para o divergente:
  • \dfrac{\partial F_x}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(1)=0.
  • \dfrac{\partial F_y}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x+y z)=z (porque x é constante ao derivar em y, e \partial (y z)/\partial y=z).
  • \dfrac{\partial F_z}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x y-\sqrt{z})=0-\dfrac{1}{2\sqrt{z}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{z}} (a derivada de x y em relação a z é zero, pois x y não depende de z).

Passo 4

Montar o divergente somando os termos:
\nabla\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=0+z-\frac{1}{2\sqrt{z}}=z-\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Comentário rápido: este resultado é válido para z>0 por causa da presença de \sqrt{z} e de sua derivada. Em z=0 a derivada de \sqrt{z} é singular.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional (uma a uma, com passos claros):
  • \dfrac{\partial F_z}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x y-\sqrt{z})=x (porque \partial(xy)/\partial y=x e \sqrt{z} é constante em relação a y).
  • \dfrac{\partial F_y}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x+y z)=y.
  • \dfrac{\partial F_x}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(1)=0.
  • \dfrac{\partial F_z}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x y-\sqrt{z})=y.
  • \dfrac{\partial F_y}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x+y z)=1.
  • \dfrac{\partial F_x}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(1)=0.

Passo 6

Montar cada componente do rotacional usando as fórmulas:
  • Componente \vec{i}:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=x-y.
  • Componente \vec{j}:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=0-y=-y.
  • Componente \vec{k}:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=1-0=1.
Portanto
\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(x-y)\,\vec{i}-y\,\vec{j}+1\cdot\vec{k}.

Passo 7

Checagem rápida (sanity check): é esperado que \nabla\cdot(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}})=0. Calculando:
\frac{\partial}{\partial x}(x-y)+\frac{\partial}{\partial y}(-y)+\frac{\partial}{\partial z}(1)=1-1+0=0,
logo a verificação bate — bom sinal de que os cálculos estão consistentes.

Resposta

\nabla\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=z-\frac{1}{2\sqrt{z}}
\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(x-y)\,\vec{i}-y\,\vec{j}+\vec{k}

Exercícios relacionados