Informações dadas que vamos usar: a função é suportada em [-1,1] (ou seja, é zero fora desse intervalo) e tem forma triangular com máximo f(0)=1 e vértices em x=\pm1. A tarefa é calcular a transformada/integral de Fourier dessa f(x).]
Passo 2
Primeiro preciso escolher a convenção da transformada de Fourier. Vou usar a convenção comum (não unitária) definida por
Explico: aqui \omega é a frequência angular e \mathcal{F}\{f\}(\omega) é a função das frequências resultante. Essa definição é a mais usada em muitos cursos e é suficiente para resolver a questão.
Passo 3
Observação importante sobre simetria: a função f é par, isto é, f(-x)=f(x) para todo x. Quando uma função é par, a transformada com a nossa convenção fica real e pode ser escrita usando cosseno, porque
e^{-i\omega x}=\cos(\omega x)-i\sin(\omega x),
e a parte ímpar envolvendo \sin(\omega x) se anula ao integrar simetricamente. Portanto
Observação sobre \omega=0: a expressão acima é contínua e, pelo limite \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1, tem valor \mathcal{F}\{f\}(0)=1. Isso também pode ser verificado diretamente integrando f: \int_{-1}^{1}(1-|x|)\,dx=1.
Passo 9
Resumo didático rápido para decorar: a transformada de um triângulo centrado em zero é sempre um sinc ao quadrado. Se na prova aparecer uma função triangular como essa, antes de integrar olha a paridade (se for par, usa cosseno) e tenta reduzir a um integral básico que resulta em (\sin(\omega/2)/(\omega/2))^2. Força aí — você consegue!