Questão 1 [13 pontos]: Encontre a integral de Fourier da função
f(x)= \begin{cases}1-|x| & \text { se }|x|<1 \\\\ 0 & \text { se }|x|>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a integral de Fourier da função
f(x)= \begin{cases}1-|x| & \text{se }|x|<1,\\[4pt] 0 & \text{se }|x|>1.\end{cases}
Informações dadas que vamos usar: a função é suportada em [-1,1] (ou seja, é zero fora desse intervalo) e tem forma triangular com máximo f(0)=1 e vértices em x=\pm1. A tarefa é calcular a transformada/integral de Fourier dessa f(x).]

Passo 2

Primeiro preciso escolher a convenção da transformada de Fourier. Vou usar a convenção comum (não unitária) definida por
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Explico: aqui \omega é a frequência angular e \mathcal{F}\{f\}(\omega) é a função das frequências resultante. Essa definição é a mais usada em muitos cursos e é suficiente para resolver a questão.

Passo 3

Observação importante sobre simetria: a função f é par, isto é, f(-x)=f(x) para todo x. Quando uma função é par, a transformada com a nossa convenção fica real e pode ser escrita usando cosseno, porque
e^{-i\omega x}=\cos(\omega x)-i\sin(\omega x),
e a parte ímpar envolvendo \sin(\omega x) se anula ao integrar simetricamente. Portanto
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-1}^{1} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx =2\int_{0}^{1} f(x)\cos(\omega x)\,dx,
pois pegamos a contribuição só de x\ge0 e multiplicamos por 2.

Passo 4

Substituímos f(x)=1-x para 0\le x<1 (note que em x=1 o valor pontual não altera a integral). Assim
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=2\int_{0}^{1} (1-x)\cos(\omega x)\,dx.
Vamos calcular a integral
I(\omega)=\int_{0}^{1} (1-x)\cos(\omega x)\,dx
detalhadamente.

Passo 5

Separei I(\omega) em duas integrais simples:
I(\omega)=\int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx-\int_{0}^{1} x\cos(\omega x)\,dx.
A primeira é direta e usa antiderivada de \cos(\omega x):
\int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx=\left[\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\right]_{0}^{1}=\frac{\sin\omega}{\omega}.

Passo 6

Agora calcule a segunda integral
J(\omega)=\int_{0}^{1} x\cos(\omega x)\,dx
usando integração por partes. Escolho u=x e dv=\cos(\omega x)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{\sin(\omega x)}{\omega}. Pela fórmula de partes,
J(\omega)=\left.x\cdot\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\,dx.
Avalio o termo limite:
\left.x\cdot\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\right|_{0}^{1}=\frac{\sin\omega}{\omega}-0=\frac{\sin\omega}{\omega}.
E a integral restante é
\int_{0}^{1}\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\,dx=\frac{1}{\omega}\left[-\frac{\cos(\omega x)}{\omega}\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{\omega^2}\big(\cos\omega-1\big).
Portanto
J(\omega)=\frac{\sin\omega}{\omega} -\left(-\frac{1}{\omega^2}(\cos\omega-1)\right) =\frac{\sin\omega}{\omega}+\frac{\cos\omega-1}{\omega^2}.

Passo 7

Voltando a I(\omega):
I(\omega)=\frac{\sin\omega}{\omega}-J(\omega) =\frac{\sin\omega}{\omega}-\left(\frac{\sin\omega}{\omega}+\frac{\cos\omega-1}{\omega^2}\right).
As parcelas \dfrac{\sin\omega}{\omega} se cancelam, sobrando
I(\omega)=-\frac{\cos\omega-1}{\omega^2}=\frac{1-\cos\omega}{\omega^2}.

Passo 8

Lembrando que \mathcal{F}\{f\}(\omega)=2I(\omega), obtemos
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=2\cdot\frac{1-\cos\omega}{\omega^2}.
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica 1-\cos\omega=2\sin^2\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big). Assim
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=2\cdot\frac{2\sin^2\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big)}{\omega^2} =\frac{4\sin^2\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big)}{\omega^2}.
Reconhece-se a forma quadrada do sinc; escrevendo em forma padrão:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\left(\frac{\sin\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big)}{\tfrac{\omega}{2}}\right)^2.
Observação sobre \omega=0: a expressão acima é contínua e, pelo limite \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1, tem valor \mathcal{F}\{f\}(0)=1. Isso também pode ser verificado diretamente integrando f: \int_{-1}^{1}(1-|x|)\,dx=1.

Passo 9

Resumo didático rápido para decorar: a transformada de um triângulo centrado em zero é sempre um sinc ao quadrado. Se na prova aparecer uma função triangular como essa, antes de integrar olha a paridade (se for par, usa cosseno) e tenta reduzir a um integral básico que resulta em (\sin(\omega/2)/(\omega/2))^2. Força aí — você consegue!

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\left(\frac{\sin\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big)}{\tfrac{\omega}{2}}\right)^2
\mathcal{F}\{f\}(0)=1

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