1^ a Questão ( 13 pontos): Considere, agora, uma sala que tenha 4 janelas de vidro duplo, cada uma medindo 1,5 m de largura, 3 m de altura e 5 mm de espessura). As folhas de vidro ( k vidro =1,4 W / m K ) têm espessura de 5 mm com espaçamento de 1,5 cm entre elas (kar=0,26 W / m cdot K). A temperatura do ar externo à sala é de 40^circ C enquanto o ambiente interno é mantido a 18^circ C por um ar condicionado. Os coeficientes convectivos interno e externo são iguais a, respectivamente, 5 W / m^2 K e 20 W / m^2 / K. calcule:
a temperatura do vidro no interior da sala

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma sala com janelas de vidro duplo e nos pede para encontrar a temperatura do vidro no interior da sala. Estamos lidando com transferência de calor por condução e convecção, então vamos precisar usar essas leis para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da janela. Ela é composta por duas folhas de vidro com uma camada de ar entre elas. Cada folha de vidro tem 5 mm de espessura, e o espaço entre elas é de 1,5 cm. Temos também os coeficientes de condução térmica para o vidro ( kvidro = 1,4, W/m cdot K) e para o ar ( kar = 0,26, W/m cdot K). Além disso, as temperaturas externas e internas são 40°C e 18°C, respectivamente, e os coeficientes convectivos são 20 e 5 W/m^2 cdot K.

Passo 3

Vamos calcular a resistência térmica total da janela. A resistência térmica ajuda a entender como o calor passa através dos diferentes materiais. A resistência total ( Rtotal) será a soma das resistências de convecção na superfície externa, condução através do vidro, condução através do ar, e condução através do segundo vidro, além da resistência de convecção na superfície interna.
A fórmula para a resistência térmica total é:
Rtotal = 1hext cdot A + dvidrokvidro cdot A + darkar cdot A + dvidrokvidro cdot A + 1hint cdot A
Onde:
  • hext e hint são os coeficientes convectivos externo e interno.
  • dvidro é a espessura do vidro.
  • dar é a espessura da camada de ar.
  • kvidro e kar são as condutividades térmicas do vidro e do ar.
  • A é a área da janela.

Passo 4

Vamos calcular a área de uma janela:
A = largura times a
Como são 4 janelas, a área total é:
Atotal = 4 times 4,5, m^2 = 18, m^2

Passo 5

Agora, vamos converter as espessuras para metros:
  • Espessura do vidro: 5, mm = 0,005, m
  • Espessura da camada de ar: 1,5, cm = 0,015, m

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da resistência térmica total:
Rtotal = 120 times 18 + 0,0051,4 times 18 + 0,0150,26 times 18 + 0,0051,4 times 18 + 15 times 18
Calculando cada termo:
  1. Convecção externa:
R1 = 120 times 18 = 1360 approx 0,00278, K/W
  1. Condução através do primeiro vidro:
R2 = 0,0051,4 times 18 = 0,00525,2 approx 0,000198, K/W
  1. Condução através do ar:
R3 = 0,0150,26 times 18 = 0,0154,68 approx 0,00321, K/W
  1. Condução através do segundo vidro:
R4 = R2 = 0,000198, K/W
  1. Convecção interna:
R5 = 15 times 18 = 190 approx 0,01111, K/W
Somando todas as resistências:
Rtotal = 0,00278 + 0,000198 + 0,00321 + 0,000198 + 0,01111 approx 0,0173, K/W

Passo 7

Agora, usando a Lei de Fourier para calcular o fluxo de calor ( dotQ):
dotQ = De
Onde De
Então:
dotQ = 220,0173 approx 1272,8, W

Passo 8

Queremos encontrar a temperatura do vidro interno ( Tvidro interno). Sabemos que:
dotQ = hint cdot A cdot (Tvidro interno - Tinterna)
Isolando Tvidro interno:
Tvidro interno = dotQhint cdot A + Tinterna = 1272,85 times 18 + 18 approx 1272,890 + 18 approx 14,14 + 18 = 32,14°C

Resposta

A temperatura do vidro no interior da sala é aproximadamente 32,14°C.

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