d pd t & =a p-b p^2 p(t0) & =p0
é utilizada frequentemente para modelar o crescimento de populações isoladas. Aqui a e b são os coeficientes vitais, onde a representa a diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade e b p^2 o fator inibidor ou termo de competição. Mostre que a equação logística tem como solução
p(t)=a p0b p0+(a-b p0) e^-a(t-t0)
Conclua que p(t) ab sempre que t infty.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação logística dpdt=a p - b p^2 com condição inicial p(t0)=p0. O conteúdo aqui é resolução de EDO separável; vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Rearranjamos para separar as variáveis:
dpp(a - b p) = dt

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1p(a - b p) = 1al(1p + ba - b pr)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a p e t:
1alnl|pa - b pr| = t + C

Passo 5

Multiplicamos por a e exponenciamos para isolar p:
pa - b p = K e^a t, K = e^aC

Passo 6

Resolvendo para p(t):
p(t) = a K e^a t1 + b K e^a t

Passo 7

Aplicamos a condição inicial p(t0)=p0 para achar K:
p0a - b p0 = K e^a t0 Longrightarrow K = p0(a - b p0)e^a t0

Passo 8

Substituindo K em p(t) obtemos a solução final:
p(t)=a p0b p0 + (a - b p0)e^-a(t - t0)

Passo 9

Para concluir, quando ttoinfty o termo e^-a(t - t0)to0, logo p(t)toab.

Resposta

p(t)=a p0b p0 + (a - b p0)e^-a(t - t0), e limttoinftyp(t)=ab

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