Questão 13. Sejam y_{1}, y_{2}:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} duas soluções L.I. de
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0
com y_{1}(x) \neq 0 para todo x \in(a, b) e p, q:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} são contínuas. Mostre que
\frac{d}{d x}\left(\frac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)}\right)=\frac{W\left[y_{1}, y_{2}\right](x)}{y_{1}^{2}(x)}
Use a fórmula de Abel para encontrar y_{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumindo bem claro):
  • São dadas duas soluções y_{1},y_{2}:(a,b)\to\mathbb{R} da EDO
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
com y_{1} nunca nula em (a,b) (isto é, y_{1}(x)\neq 0 para todo x\in(a,b)).
  • As funções p,q:(a,b)\to\mathbb{R} são contínuas.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Mostrar que
    \frac{d}{dx}\!\left(\frac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)}\right)=\frac{W[y_{1},y_{2}](x)}{y_{1}^{2}(x)},onde W[y_{1},y_{2}](x) é o wronskiano y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
    2. Usar a fórmula de Abel para encontrar (expressar) y_{2} em termos de y_{1}, p e constantes adequadas.

Passo 2

Definição do wronskiano e prova direta da identidade (passo algébrico simples, mas importante).
  • Defina o wronskiano
W[y_{1},y_{2}](x):=y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{1}'(x)\,y_{2}(x).
  • Calcule a derivada da razão \dfrac{y_{2}}{y_{1}} usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para duas funções diferenciáveis u e v com v\neq 0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui tome u=y_{2} e v=y_{1}. Assim,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y_{2}}{y_{1}}\right) =\frac{y_{2}'y_{1}-y_{2}y_{1}'}{y_{1}^{2}} =\frac{y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2}} =\frac{W[y_{1},y_{2}](x)}{y_{1}^{2}(x)}.
Isto prova a primeira identidade pedida, apenas aplicando a regra do quociente e a definição do wronskiano.

Passo 3

Introdução e derivação da fórmula de Abel para o wronskiano (motivo: vamos precisar de uma expressão explícita para W).
  • Calcule W'. Usando a definição,
W'(x)=\big(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}\big)'=y_{1}'y_{2}'+y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}-y_{1}'y_{2}'.
Os termos y_{1}'y_{2}' cancelam, sobrando
W'(x)=y_{1}(x)\,y_{2}''(x)-y_{1}''(x)\,y_{2}(x).
  • Agora use que y_{1} e y_{2} satisfazem a equação diferencial y''+p y'+q y=0. Portanto
y_{i}''(x)=-p(x)y_{i}'(x)-q(x)y_{i}(x),\qquad i=1,2.
Substituindo em W':
\begin{aligned} W'(x) &=y_{1}\big(-p y_{2}'-q y_{2}\big)-\big(-p y_{1}'-q y_{1}\big)y_{2}\\\ &=-p\,y_{1}y_{2}'-q\,y_{1}y_{2}+p\,y_{1}'y_{2}+q\,y_{1}y_{2}\\\ &=-p(x)\big(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}\big)\\\ &=-p(x)W(x). \end{aligned}
  • Assim W satisface a EDO de primeira ordem linear simples
W'(x) + p(x)W(x)=0.
Dividindo por W (onde W\neq 0 localmente; mas a solução da EDO vale em geral) obtemos
\frac{W'(x)}{W(x)}=-p(x).
Integre de um ponto fixo x_{0}\in(a,b) até x:
\ln\!\bigg(\frac{W(x)}{W(x_{0})}\bigg)=-\int_{x_{0}}^{x} p(s)\,ds.
Exponenciando,
W(x)=W(x_{0})\exp\!\left(-\int_{x_{0}}^{x} p(s)\,ds\right).
Esta é a chamada fórmula de Abel para o wronskiano. Aqui W(x_{0}) é a constante de integração (é exatamente o valor do wronskiano em x_{0}).

Passo 4

Usar a identidade do Passo 2 e a fórmula de Abel para integrar e obter y_{2} em função de y_{1}.
  • Do Passo 2 temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)}\right)=\frac{W(x)}{y_{1}^{2}(x)}.
  • Substitua a expressão de Abel W(x)=W(x_{0})\exp\!\big(-\int_{x_{0}}^{x} p\big). Assim
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)}\right) =\frac{W(x_{0})\exp\!\left(-\int_{x_{0}}^{x} p(s)\,ds\right)}{y_{1}^{2}(x)}.
  • Integre esta igualdade de x_{0} até x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\begin{aligned} \frac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)}-\frac{y_{2}(x_{0})}{y_{1}(x_{0})} &=W(x_{0})\int_{x_{0}}^{x}\frac{\exp\!\left(-\int_{x_{0}}^{t} p(s)\,ds\right)}{y_{1}^{2}(t)}\,dt. \end{aligned}
  • Reescrevendo,
\frac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)} =\frac{y_{2}(x_{0})}{y_{1}(x_{0})} +W(x_{0})\int_{x_{0}}^{x}\frac{\exp\!\left(-\displaystyle\int_{x_{0}}^{t} p(s)\,ds\right)}{y_{1}^{2}(t)}\,dt.
Multiplicando por y_{1}(x) obtemos a expressão final para y_{2}:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\left(\frac{y_{2}(x_{0})}{y_{1}(x_{0})} +W(x_{0})\int_{x_{0}}^{x}\frac{\exp\!\left(-\displaystyle\int_{x_{0}}^{t} p(s)\,ds\right)}{y_{1}^{2}(t)}\,dt\right).
  • Interpretação prática (dica para a prova): x_{0} é um ponto fixo em (a,b). As duas constantes \dfrac{y_{2}(x_{0})}{y_{1}(x_{0})} e W(x_{0}) determinam as condições iniciais de y_{2}. Se quiser construir uma segunda solução linearmente independente a partir de y_{1}, pode escolher, por exemplo, \dfrac{y_{2}(x_{0})}{y_{1}(x_{0})}=0 e W(x_{0})=1 e então
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x}\frac{\exp\!\left(-\displaystyle\int_{x_{0}}^{t} p(s)\,ds\right)}{y_{1}^{2}(t)}\,dt,
que é a forma usual obtida pelo método de redução de ordem.

Passo 5

Resumo rápido do resultado e comentário final (para guardar na cabeça antes da prova):
  • Identidade direta:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y_{2}}{y_{1}}\right)=\frac{W[y_{1},y_{2}]}{y_{1}^{2}}.
  • Usando Abel ( W(x)=W(x_{0})e^{-\int_{x_{0}}^{x}p}) e integrando, obtemos a formula geral
y_{2}(x)=y_{1}(x)\left(\frac{y_{2}(x_{0})}{y_{1}(x_{0})} +W(x_{0})\int_{x_{0}}^{x}\frac{\exp\!\left(-\displaystyle\int_{x_{0}}^{t} p(s)\,ds\right)}{y_{1}^{2}(t)}\,dt\right).
  • Para construir uma segunda solução independente convenientemente escolhe-se as constantes de forma apropriada (por exemplo a escolha \dfrac{y_{2}(x_{0})}{y_{1}(x_{0})}=0, W(x_{0})=1 dá a forma canônica do método de redução de ordem).

Resposta

\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)}\right)=\frac{W[y_{1},y_{2}](x)}{y_{1}^{2}(x)}
y_{2}(x)=y_{1}(x)\left(\frac{y_{2}(x_{0})}{y_{1}(x_{0})} +W(x_{0})\int_{x_{0}}^{x}\frac{\exp\!\left(-\displaystyle\int_{x_{0}}^{t} p(s)\,ds\right)}{y_{1}^{2}(t)}\,dt\right)

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