Questão 13. Sejam
duas soluções L.I. de
com
para todo
e
são contínuas. Mostre que
Use a fórmula de Abel para encontrar
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumindo bem claro):
- São dadas duas soluções
da EDO
com
nunca nula em
(isto é,
para todo
).
- As funções
são contínuas. - O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
onde é o wronskiano .
2. Usar a fórmula de Abel para encontrar (expressar)em termos de , e constantes adequadas.
Passo 2
Definição do wronskiano e prova direta da identidade (passo algébrico simples, mas importante).
- Defina o wronskiano
- Calcule a derivada da razão
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para duas funções diferenciáveis e com ,
Aqui tome
e
. Assim,
Isto prova a primeira identidade pedida, apenas aplicando a regra do quociente e a definição do wronskiano.
Passo 3
Introdução e derivação da fórmula de Abel para o wronskiano (motivo: vamos precisar de uma expressão explícita para
).
- Calcule
. Usando a definição,
Os termos
cancelam, sobrando
- Agora use que
e satisfazem a equação diferencial . Portanto
Substituindo em
:
- Assim
satisface a EDO de primeira ordem linear simples
Dividindo por
(onde
localmente; mas a solução da EDO vale em geral) obtemos
Integre de um ponto fixo
até
:
Exponenciando,
Esta é a chamada fórmula de Abel para o wronskiano. Aqui
é a constante de integração (é exatamente o valor do wronskiano em
).
Passo 4
Usar a identidade do Passo 2 e a fórmula de Abel para integrar e obter
em função de
.
- Do Passo 2 temos
- Substitua a expressão de Abel
. Assim
- Integre esta igualdade de
até . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
- Reescrevendo,
Multiplicando por
obtemos a expressão final para
:
- Interpretação prática (dica para a prova):
é um ponto fixo em . As duas constantes e determinam as condições iniciais de . Se quiser construir uma segunda solução linearmente independente a partir de , pode escolher, por exemplo, e e então
que é a forma usual obtida pelo método de redução de ordem.
Passo 5
Resumo rápido do resultado e comentário final (para guardar na cabeça antes da prova):
- Identidade direta:
- Usando Abel (
) e integrando, obtemos a formula geral
- Para construir uma segunda solução independente convenientemente escolhe-se as constantes de forma apropriada (por exemplo a escolha
, dá a forma canônica do método de redução de ordem).