Questão 12:
Se o wronskiano de f e g for 3 e^{4 x} e se f(x)=e^{2 x}, encontre g(x).

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes:
  • O wronskiano de f e g é \;3e^{4x}.
  • A função f é \;f(x)=e^{2x}.
O que a questão pede:
  • Encontrar g(x) (a família de funções g que satisfaz essa condição).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Wronskiano W(f,g)(x)=3e^{4x}.
  • Função conhecida f(x)=e^{2x}.

Passo 2

Lembrete (fórmula do wronskiano para duas funções): o wronskiano de f e g é dado por
W(f,g)(x)=\begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\\ f'(x) & g'(x) \end{vmatrix}=f(x)g'(x)-f'(x)g(x).
Aqui vamos usar essa fórmula, substituindo f e f'. Primeiro calcule f'(x):
f(x)=e^{2x}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=2e^{2x}.

Passo 3

Substituindo na definição do wronskiano temos a equação
f(x)g'(x)-f'(x)g(x)=3e^{4x}.
Substituindo f e f':
e^{2x}g'(x)-2e^{2x}g(x)=3e^{4x}.
Dividindo ambos os lados por e^{2x} (sempre permitido porque e^{2x}\neq0):
g'(x)-2g(x)=3e^{2x}.
Portanto obtivemos uma equação diferencial linear de primeira ordem para g:
g'(x)-2g(x)=3e^{2x}.

Passo 4

Método para resolver g'(x)-2g(x)=3e^{2x}: usar fator integrante. Para uma equação da forma g'+p(x)g=q(x), o fator integrante é \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui p(x)=-2, logo
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x):
e^{-2x}g'(x)-2e^{-2x}g(x)=3e^{2x}\cdot e^{-2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \bigl(e^{-2x}g(x)\bigr)', então
\bigl(e^{-2x}g(x)\bigr)'=3.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
e^{-2x}g(x)=\int 3\,dx = 3x + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por e^{2x} para isolar g:
g(x)=e^{2x}\bigl(3x + C\bigr).
Essa é a família geral de funções g que satisfazem o wronskiano dado com f(x)=e^{2x}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular W(f,g)=f g'-f' g com g(x)=e^{2x}(3x+C).
Calcule g'(x):
g'(x)=\bigl(e^{2x}(3x+C)\bigr)'=2e^{2x}(3x+C)+e^{2x}\cdot 3 = e^{2x}\bigl(6x+2C+3\bigr).
Então
f g' - f' g = e^{2x}\cdot e^{2x}\bigl(6x+2C+3\bigr) - 2e^{2x}\cdot e^{2x}(3x+C).
Fatorando e^{4x}:
e^{4x}\bigl(6x+2C+3 - (6x+2C)\bigr)=e^{4x}\cdot 3 = 3e^{4x},
confirmando que a solução está correta.

Resposta

g(x)=e^{2x}\bigl(3x+C\bigr), onde C é constante real.

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