Aqui vamos usar essa fórmula, substituindo f e f'. Primeiro calcule f'(x):
f(x)=e^{2x}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=2e^{2x}.
Passo 3
Substituindo na definição do wronskiano temos a equação
f(x)g'(x)-f'(x)g(x)=3e^{4x}.
Substituindo f e f':
e^{2x}g'(x)-2e^{2x}g(x)=3e^{4x}.
Dividindo ambos os lados por e^{2x} (sempre permitido porque e^{2x}\neq0):
g'(x)-2g(x)=3e^{2x}.
Portanto obtivemos uma equação diferencial linear de primeira ordem para g:
g'(x)-2g(x)=3e^{2x}.
Passo 4
Método para resolver g'(x)-2g(x)=3e^{2x}: usar fator integrante. Para uma equação da forma g'+p(x)g=q(x), o fator integrante é \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui p(x)=-2, logo
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x):
e^{-2x}g'(x)-2e^{-2x}g(x)=3e^{2x}\cdot e^{-2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \bigl(e^{-2x}g(x)\bigr)', então
\bigl(e^{-2x}g(x)\bigr)'=3.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a x:
e^{-2x}g(x)=\int 3\,dx = 3x + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por e^{2x} para isolar g:
g(x)=e^{2x}\bigl(3x + C\bigr).
Essa é a família geral de funções g que satisfazem o wronskiano dado com f(x)=e^{2x}.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular W(f,g)=f g'-f' g com g(x)=e^{2x}(3x+C).