(Questão 136) Em uma universidade, atuam professores que estão enquadrados funcionalmente pela sua maior titulação: mestre ou doutor. Nela há, atualmente, 60 mestres e 40 doutores. Os salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente, \mathrm{R} \ 8000,00 e\mathrm{R} $12000,00 . A diretoria da instituição pretende proporcionar um aumento salarial diferenciado para o ano seguinte, de tal forma que o salário médio mensal dos professores dessa instituição não ultrapasse R\çãáéçãã12 240,00. A universidade já estabeleceu que o aumento salarial será de 25 \% para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores. Mantido o número atual de professores com suas atuais titulações, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo,
a) 14,4 .
b) 20,7 .
c) 22,0 .
d) 30,0 .
e) 37,5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Quantidade de professores mestres: 60.
  • Quantidade de professores doutores: 40.
  • Salário atual dos mestres: \mathrm{R}\$\,8.000,00.
  • Salário atual dos doutores: \mathrm{R}\$\,12.000,00.
  • Aumento já decidido para os mestres: 25\%.
  • A diretoria quer que o salário médio mensal dos professores, após os aumentos, não ultrapasse \mathrm{R}\$\,12.240,00.
  • O que falta definir é o percentual de aumento para os doutores; o enunciado pergunta qual é, no máximo, esse percentual (em porcentagem) para que a condição do salário médio seja respeitada.
Nada mais será assumido; daqui em diante vamos calcular passo a passo qual é esse percentual máximo.

Passo 2

Entendendo como funcionar o aumento percentual (pequena aula prática).
  • Se um salário S recebe um aumento de r\%, o novo salário é dado por
S_\text{novo} = S \cdot (1 + r),
onde r é a fração decimal do aumento. Exemplo: 25\% corresponde a r=0,25, então o multiplicador é 1+0,25=1,25.
  • Aplicando isso aos mestres: o salário atual é \mathrm{R}\$\,8.000,00 e o aumento é 25\%. Portanto o novo salário dos mestres é
8.000 \times 1,25 = 10.000.
Explicando cada número: 8.000 é o salário antigo e 1,25 é o fator que incorpora o aumento de 25\%.

Passo 3

Definindo variável para o aumento dos doutores e escrevendo o novo salário deles.
  • Seja r a fração decimal do aumento dos doutores. Ou seja, se o aumento em porcentagem for p\%, então r = \dfrac{p}{100}.
  • O salário atual dos doutores é \mathrm{R}\$\,12.000,00. Após o aumento será
12.000\cdot (1+r).
Esse é o valor que cada doutor passará a receber, em função de r.

Passo 4

Montando a expressão do salário médio depois dos aumentos (explicando conceito de média ponderada).
  • Salário total após aumentos = (nº mestres) \times (salário novo dos mestres) + (nº doutores) \times (salário novo dos doutores).
  • Substituindo os números que temos:
\text{Total} = 60\cdot 10.000 \;+\; 40\cdot \bigl(12.000(1+r)\bigr).
  • Calculando os termos:
60\cdot 10.000 = 600.000,
40\cdot 12.000(1+r) = 480.000(1+r) = 480.000 + 480.000\,r.
  • Somando:
\text{Total} = 600.000 + 480.000 + 480.000\,r = 1.080.000 + 480.000\,r.
  • O salário médio (média aritmética simples, pois são 100 professores no total) é esse total dividido por 100:
\text{Média} = \frac{1.080.000 + 480.000\,r}{100} = 10.800 + 4.800\,r.é
Aqui expliquei cada passo para você poder reproduzir: multiplicações simples para o total da folha e depois divisão por 100 (número total de professores) para a média.

Passo 5

Impondo a condição do enunciado e resolvendo a desigualdade.
  • A diretoria quer que a média não ultrapasse \mathrm{R}\$\,12.240,00, portanto devemos ter
10.800 + 4.800\,r \le 12.240.
  • Subtraindo 10.800 de ambos os lados:
4.800\,r \le 12.240 - 10.800 = 1.440.
  • Dividindo ambos os lados por 4.800:
r \le \frac{1.440}{4.800} = 0,30.
  • Lembrando que r é a fração decimal do aumento, convertemos para porcentagem multiplicando por 100\%:
r = 0,30 \longrightarrow 30\%.
Portanto o aumento máximo permitido para os doutores é 30\%.

Resposta

d) 30,0\%

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