(Questão 136) Em uma universidade, atuam professores que estão enquadrados funcionalmente pela sua maior titulação: mestre ou doutor. Nela há, atualmente, 60 mestres e 40 doutores. Os salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente,
8000,00
\mathrm{R} $12000,00
12 240,00. A universidade já estabeleceu que o aumento salarial será de
para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores. Mantido o número atual de professores com suas atuais titulações, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo,
a) 14,4 .
b) 20,7 .
c) 22,0 .
d) 30,0 .
e) 37,5
a) 14,4 .
b) 20,7 .
c) 22,0 .
d) 30,0 .
e) 37,5
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Quantidade de professores mestres:
. - Quantidade de professores doutores:
. - Salário atual dos mestres:
. - Salário atual dos doutores:
. - Aumento já decidido para os mestres:
. - A diretoria quer que o salário médio mensal dos professores, após os aumentos, não ultrapasse
. - O que falta definir é o percentual de aumento para os doutores; o enunciado pergunta qual é, no máximo, esse percentual (em porcentagem) para que a condição do salário médio seja respeitada.
Nada mais será assumido; daqui em diante vamos calcular passo a passo qual é esse percentual máximo.
Passo 2
Entendendo como funcionar o aumento percentual (pequena aula prática).
- Se um salário
recebe um aumento de , o novo salário é dado por
onde
é a fração decimal do aumento. Exemplo:
corresponde a
, então o multiplicador é
.
- Aplicando isso aos mestres: o salário atual é
e o aumento é . Portanto o novo salário dos mestres é
Explicando cada número:
é o salário antigo e
é o fator que incorpora o aumento de
.
Passo 3
Definindo variável para o aumento dos doutores e escrevendo o novo salário deles.
- Seja
a fração decimal do aumento dos doutores. Ou seja, se o aumento em porcentagem for , então . - O salário atual dos doutores é
. Após o aumento será
Esse é o valor que cada doutor passará a receber, em função de
.
Passo 4
Montando a expressão do salário médio depois dos aumentos (explicando conceito de média ponderada).
- Salário total após aumentos = (nº mestres)
(salário novo dos mestres) + (nº doutores) (salário novo dos doutores). - Substituindo os números que temos:
- Calculando os termos:
- Somando:
- O salário médio (média aritmética simples, pois são 100 professores no total) é esse total dividido por
:
Aqui expliquei cada passo para você poder reproduzir: multiplicações simples para o total da folha e depois divisão por
(número total de professores) para a média.
Passo 5
Impondo a condição do enunciado e resolvendo a desigualdade.
- A diretoria quer que a média não ultrapasse
, portanto devemos ter
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Dividindo ambos os lados por
:
- Lembrando que
é a fração decimal do aumento, convertemos para porcentagem multiplicando por :
Portanto o aumento máximo permitido para os doutores é
.
Resposta
d)