(3,5 pontos) A equipe de engenhario de uma construtora está testando um novo tipo de Concreto de atta resisténcia. Para avatiar se ele atinge o padrâo de quatidade exigido, de 40 MPa , foi coletada uma amostra de 12 corpos de prove, com os seguintes resultados (em MPa):
41,2 39,5 40,8 38,9 42,1 39,7 40,3 41,0 38,6 40,7 39,9 40,4
a) Calcule um intervalo de confiança de 99 \% para a resistência média do concreto. O que o resultado obtido significa?
b) Teste a hipótese de que o concreto atinge em média 40 MPa , ao nível de significância de 1 \%. Especifique claramente as hipóteses testadas, estatística de teste e decisão.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=12 resistências (em MPa):
41{,}2,\;39{,}5,\;40{,}8,\;38{,}9,\;42{,}1,\;39{,}7,\;40{,}3,\;41{,}0,\;38{,}6,\;40{,}7,\;39{,}9,\;40{,}4.
São pedidas duas coisas:
a) construir um intervalo de confiança de 99\% para a resistência média \mu do concreto e explicar o significado desse intervalo;
b) testar, ao nível de significância de 1\%, a hipótese de que a média é \mu=40 MPa, especificando hipóteses, estatística de teste e decisão.
Informações relevantes extraídas do enunciado: tamanho da amostra \,n=12, valor proposto da média sob hipótese nula \mu_0=40 MPa, e como a variância populacional não é fornecida usaremos a variância amostral (portanto distribuição t de Student).

Passo 2

Vamos calcular a média amostral \bar{x}. Somando os dados (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado) obtemos
\sum_{i=1}^{12} x_i = 483{,}1.
A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{12} x_i=\frac{483{,}1}{12}=40{,}258333\ldots
Vou usar \bar{x}\approx 40{,}2583 MPa nas contas seguintes. Explicação didática: a média amostral é a estimativa natural da média populacional; somamos todas as observações e dividimos pelo número de observações.

Passo 3

Precisamos da variância amostral s^2 e do desvio-padrão amostral s. Para isso calculei também a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{12} x_i^2 = 19\,459{,}75.
A fórmula para a variância amostral (não viciada) é
s^2=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2\Biggr).
Substituindo os valores:
n\bar{x}^2 = 12\cdot(40{,}258333\ldots)^2 \approx 19\,448{,}798748,
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 \approx 19\,459{,}75 - 19\,448{,}798748 = 10{,}951252.
Logo
s^2 \approx \frac{10{,}951252}{11} \approx 0{,}9955684,
e o desvio-padrão amostral é
s\approx\sqrt{0{,}9955684}\approx 0{,}9978.
Explicação didática: usamos n-1 no denominador porque estamos estimando a variância populacional a partir da amostra (correção de Bessel); o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e mede a dispersão típica das observações em torno da média.

Passo 4

Para construir um intervalo de confiança para \mu quando a variância é desconhecida e a amostra é pequena usamos a distribuição t de Student com \nu=n-1 graus de liberdade. Aqui \nu=11. O intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
No nosso caso desejamos 99\% de confiança, logo \alpha=0{,}01 e \alpha/2=0{,}005. O quantil crítico (tabela de Student ou calculadora) para \nu=11 e nível de cauda 0{,}005 é
t_{0{,}995,\;11}=t_{1-\alpha/2,\;11}\approx 3{,}106.
Explicação didática: esse t crítico substitui o z da normal quando não conhecemos a variância populacional; é mais “larga” (maior) para refletir incerteza extra em amostras pequenas.

Passo 5

Calculemos o erro padrão da média e a margem de erro:
\text{erro padrão}=\frac{s}{\sqrt{n}} \approx \frac{0{,}9978}{\sqrt{12}} \approx \frac{0{,}9978}{3{,}4641}\approx 0{,}2879.ã
A margem de erro para 99\% é
\text{ME}=t_{0{,}995,\;11}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 3{,}106\cdot 0{,}2879\approx 0{,}8942.

Passo 6

Construindo o intervalo:
\bar{x}\pm\text{ME}\implies 40{,}2583\pm 0{,}8942.
Assim o intervalo de confiança de 99\% é aproximadamente
\bigl(39{,}3641,\;41{,}1525\bigr)\\ \text{MPa}.
Interpretação didática: dizer “temos 99\% de confiança” significa que se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo dessa forma para cada amostra, cerca de 99\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional \mu. Não significa que há 99\% de probabilidade de \mu estar no intervalo para esta amostra fixa (esse é um detalhe teórico), mas, de maneira prática, o intervalo dado é nossa estimativa plausível para \mu com alto grau de confiança.

Passo 7

Agora o teste de hipótese. Especificamos:
H_0:\\ \mu=40\quad\text{vs}\quad H_1:\\ \mu\neq 40.
É um teste bilateral ao nível de significância \alpha=0{,}01. Como a variância populacional é desconhecida usamos a estatística t:
T=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
que sob H_0 tem distribuição t com \nu=n-1=11 graus de liberdade.

Passo 8

Calculemos a estatística observada (usei \bar{x} e s calculados acima):
T_{\text{obs}}=\frac{40{,}258333\ldots - 40}{0{,}9978/\sqrt{12}} \approx \frac{0{,}258333}{0{,}2879}\approx 0{,}8973.
O valor crítico bilateral para \alpha=0{,}01 e \nu=11 é \pm t_{0{,}995,\;11}=\pm 3{,}106. Rejeitamos H_0 se |T_{\text{obs}}|>3{,}106.

Passo 9

Comparação e decisão: |T_{\text{obs}}|\approx 0{,}8973 < 3{,}106. Portanto não rejeitamos H_0 ao nível de significância de 1\%. Em palavras: com esses dados não há evidência estatística suficiente, ao nível de 1\%, para afirmar que a média difere de 40 MPa.
Cálculo aproximado do p-valor (didático): o p-valor bilateral é 2\cdot P(T_{11}>|T_{\text{obs}}|). Para |T_{\text{obs}}|\approx 0{,}897 e \nu=11 a cauda superior é cerca de 0{,}193, então o p-valor bilateral é aproximadamente 0{,}386. Como p\text{-valor}\gg 0{,}01, novamente confirmamos a decisão de não rejeitar H_0.
Observação útil: o valor proposto \mu_0=40 está dentro do intervalo de confiança de 99\% calculado no passo 6 (pois 40\in(39{,}3641,\,41{,}1525)), o que é consistente com a não-rejeição de H_0.

Resposta

a) Intervalo de confiança de 99\% para \mu: \bigl(39{,}3641,\;41{,}1525\bigr) MPa.\n
b) Hipóteses: \;H_0:\mu=40 vs \;H_1:\mu\neq 40. Estatística observada: T_{\text{obs}}\approx 0{,}8973. Valor crítico bilateral: \pm 3{,}106 (gl =11). Decisão: não rejeitar H_0 ao nível de 1\% (p-valor aproximado \approx 0{,}386).

Exercícios relacionados