pontos) A equipe de engenhario de uma construtora está testando um novo tipo de Concreto de atta resisténcia. Para avatiar se ele atinge o padrâo de quatidade exigido, de 40 MPa , foi coletada uma amostra de 12 corpos de prove, com os seguintes resultados (em MPa):
41,2
39,5
40,8
38,9
42,1
39,7
40,3
41,0
38,6
40,7
39,9
40,4
a) Calcule um intervalo de confiança de
para a resistência média do concreto. O que o resultado obtido significa?
b) Teste a hipótese de que o concreto atinge em média 40 MPa , ao nível de significância de
. Especifique claramente as hipóteses testadas, estatística de teste e decisão.
| 41,2 | 39,5 | 40,8 | 38,9 | 42,1 | 39,7 | 40,3 | 41,0 | 38,6 | 40,7 | 39,9 | 40,4 |
b) Teste a hipótese de que o concreto atinge em média 40 MPa , ao nível de significância de
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
resistências (em MPa):
São pedidas duas coisas:
a) construir um intervalo de confiança de para a resistência média
do concreto e explicar o significado desse intervalo;
b) testar, ao nível de significância de , a hipótese de que a média é
MPa, especificando hipóteses, estatística de teste e decisão.
a) construir um intervalo de confiança de
b) testar, ao nível de significância de
Informações relevantes extraídas do enunciado: tamanho da amostra
, valor proposto da média sob hipótese nula
MPa, e como a variância populacional não é fornecida usaremos a variância amostral (portanto distribuição
de Student).
Passo 2
Vamos calcular a média amostral
. Somando os dados (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado) obtemos
A média amostral é
Vou usar
MPa nas contas seguintes. Explicação didática: a média amostral é a estimativa natural da média populacional; somamos todas as observações e dividimos pelo número de observações.
Passo 3
Precisamos da variância amostral
e do desvio-padrão amostral
. Para isso calculei também a soma dos quadrados:
A fórmula para a variância amostral (não viciada) é
Substituindo os valores:
Logo
e o desvio-padrão amostral é
Explicação didática: usamos
no denominador porque estamos estimando a variância populacional a partir da amostra (correção de Bessel); o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e mede a dispersão típica das observações em torno da média.
Passo 4
Para construir um intervalo de confiança para
quando a variância é desconhecida e a amostra é pequena usamos a distribuição
de Student com
graus de liberdade. Aqui
. O intervalo de confiança de nível
para
é
No nosso caso desejamos
de confiança, logo
e
. O quantil crítico (tabela de Student ou calculadora) para
e nível de cauda
é
Explicação didática: esse
crítico substitui o
da normal quando não conhecemos a variância populacional; é mais “larga” (maior) para refletir incerteza extra em amostras pequenas.
Passo 5
Calculemos o erro padrão da média e a margem de erro:
A margem de erro para
é
Passo 6
Construindo o intervalo:
Assim o intervalo de confiança de
é aproximadamente
Interpretação didática: dizer “temos
de confiança” significa que se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo dessa forma para cada amostra, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional
. Não significa que há
de probabilidade de
estar no intervalo para esta amostra fixa (esse é um detalhe teórico), mas, de maneira prática, o intervalo dado é nossa estimativa plausível para
com alto grau de confiança.
Passo 7
Agora o teste de hipótese. Especificamos:
É um teste bilateral ao nível de significância
. Como a variância populacional é desconhecida usamos a estatística
:
que sob
tem distribuição
com
graus de liberdade.
Passo 8
Calculemos a estatística observada (usei
e
calculados acima):
O valor crítico bilateral para
e
é
. Rejeitamos
se
.
Passo 9
Comparação e decisão:
. Portanto não rejeitamos
ao nível de significância de
. Em palavras: com esses dados não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que a média difere de
MPa.
Cálculo aproximado do p-valor (didático): o p-valor bilateral é
. Para
e
a cauda superior é cerca de
, então o p-valor bilateral é aproximadamente
. Como
, novamente confirmamos a decisão de não rejeitar
.
Observação útil: o valor proposto
está dentro do intervalo de confiança de
calculado no passo 6 (pois
), o que é consistente com a não-rejeição de
.
Resposta
a) Intervalo de confiança de
para
:
MPa.\n
b) Hipóteses: vs
. Estatística observada:
. Valor crítico bilateral:
(gl
). Decisão: não rejeitar
ao nível de
(p-valor aproximado
).
b) Hipóteses: