(Questão 152) A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão. Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1 / 2. Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
a) 35 / 64
b) 40 / 64
c) 42 / 64
d) 44 / 64
e) 52 / 64

Passo 1

O enunciado descreve uma série melhor de sete jogos (primeiro a 4 vitórias). Os dados e o que é pedido são:
  • Dois times jogam até alguém alcançar quatro vitórias.
  • Em cada partida a probabilidade de vitória de qualquer time é 1/2, independentemente das outras partidas.
  • Sabemos que o time que venceu a primeira partida (vou chamar esse time de A) ganhou o jogo 1.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que o time campeão seja exatamente esse time A (isto é, que A seja o primeiro a alcançar 4 vitórias)?
    As informações relevantes: vitória no jogo 1 por A; sequência de jogos subsequentes com probabilidades 1/2 cada; série termina quando um time atinge 4 vitórias.

Passo 2

Vamos traduzir o problema para algo que dê para calcular. Depois de o time A ganhar a primeira partida, ele já tem 1 vitória. Para ser campeão, A precisa atingir 4 vitórias antes do adversário. Isso significa que, nas partidas restantes, A precisa conseguir mais 3 vitórias antes que o adversário consiga 4 vitórias. As partidas restantes são, no máximo, 6 (já foi jogada 1 de até 7). Uma maneira prática de modelar é imaginar que jogamos as 6 partidas restantes independentemente (cada uma com probabilidade 1/2 de vitória para A) — ao final dessas 6 partidas, o número de vitórias adicionais de A é uma variável com distribuição binomial. O evento " A é campeão" é equivalente ao evento “nessas 6 partidas A consegue pelo menos 3 vitórias” (pois 1 inicial + pelo menos 3 = pelo menos 4). Vou explicar e justificar essa equivalência em detalhe no próximo passo.

Passo 3

Justificativa da equivalência “ganhar a série” ↔ “nas 6 partidas restantes A ganha pelo menos 3”:
  • Se, jogando até o fim as 6 partidas restantes, A obtiver pelo menos 3 vitórias, então somando a vitória já obtida no jogo 1 teremos pelo menos 4 vitórias para A, então A teria sido campeão em algum momento durante essas partidas (talvez antes do final, mas isso não importa para determinar o campeão).
  • Se A for campeão durante as partidas restantes, então necessariamente ele obteve pelo menos 3 vitórias nessas partidas (pois já tinha 1 antes).
    Portanto os eventos são equivalentes e podemos calcular a probabilidade usando o número de vitórias de A em 6 jogos independentes com probabilidade 1/2 por vitória.

Passo 4

Apresentando o modelo binomial e a fórmula necessária:
Se X é o número de vitórias de A nas 6 partidas restantes, então X tem distribuição binomial com parâmetros n=6 e p=1/2. A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
Aqui n=6, p=1/2, e \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k vitórias entre 6 jogos. Queremos P(X\ge 3), isto é,
P(X\ge 3)=\sum_{k=3}^{6} \binom{6}{k} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}.
Expliquei cada símbolo: \binom{6}{k} conta combinações, \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6} vem de p^{k}(1-p)^{6-k} com p=1/2, que simplifica para (1/2)^6 independentemente de k.

Passo 5

Calculemos cada termo da soma. As combinações relevantes são:
\binom{6}{3}=20,\quad \binom{6}{4}=15,\quad \binom{6}{5}=6,\quad \binom{6}{6}=1.
Cada termo tem fator comum \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\tfrac{1}{64}. Então
P(X\ge 3)=\frac{1}{64}\big(20+15+6+1\big).

Passo 6

Some os números:
20+15+6+1=42.
Portanto
P(\text{\(A\) ser campeão})=\frac{42}{64}.ã
Podemos deixar na forma dada nas alternativas como \tfrac{42}{64}. (Se quisermos simplificar, \tfrac{42}{64}=\tfrac{21}{32}, mas como as opções estão sobre 64, usamos \tfrac{42}{64}.)

Resposta

c) \dfrac{42}{64}

Exercícios relacionados