(Questão 152) A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão. Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre
. Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado descreve uma série melhor de sete jogos (primeiro a 4 vitórias). Os dados e o que é pedido são:
- Dois times jogam até alguém alcançar quatro vitórias.
- Em cada partida a probabilidade de vitória de qualquer time é
, independentemente das outras partidas. - Sabemos que o time que venceu a primeira partida (vou chamar esse time de
) ganhou o jogo 1. - Pergunta: qual é a probabilidade de que o time campeão seja exatamente esse time
(isto é, que seja o primeiro a alcançar 4 vitórias)?
As informações relevantes: vitória no jogo 1 por; sequência de jogos subsequentes com probabilidades cada; série termina quando um time atinge 4 vitórias.
Passo 2
Vamos traduzir o problema para algo que dê para calcular. Depois de o time
ganhar a primeira partida, ele já tem 1 vitória. Para ser campeão,
precisa atingir 4 vitórias antes do adversário. Isso significa que, nas partidas restantes,
precisa conseguir mais 3 vitórias antes que o adversário consiga 4 vitórias. As partidas restantes são, no máximo, 6 (já foi jogada 1 de até 7). Uma maneira prática de modelar é imaginar que jogamos as 6 partidas restantes independentemente (cada uma com probabilidade
de vitória para
) — ao final dessas 6 partidas, o número de vitórias adicionais de
é uma variável com distribuição binomial. O evento "
é campeão" é equivalente ao evento “nessas 6 partidas
consegue pelo menos 3 vitórias” (pois
inicial + pelo menos
= pelo menos
). Vou explicar e justificar essa equivalência em detalhe no próximo passo.
Passo 3
Justificativa da equivalência “ganhar a série” ↔ “nas 6 partidas restantes
ganha pelo menos 3”:
- Se, jogando até o fim as 6 partidas restantes,
obtiver pelo menos 3 vitórias, então somando a vitória já obtida no jogo 1 teremos pelo menos vitórias para , então teria sido campeão em algum momento durante essas partidas (talvez antes do final, mas isso não importa para determinar o campeão). - Se
for campeão durante as partidas restantes, então necessariamente ele obteve pelo menos 3 vitórias nessas partidas (pois já tinha 1 antes).
Portanto os eventos são equivalentes e podemos calcular a probabilidade usando o número de vitórias deem 6 jogos independentes com probabilidade por vitória.
Passo 4
Apresentando o modelo binomial e a fórmula necessária:
Se é o número de vitórias de
nas 6 partidas restantes, então
tem distribuição binomial com parâmetros
e
. A fórmula da probabilidade binomial é:
Se
Aqui
,
, e
é o número de maneiras de escolher
vitórias entre
jogos. Queremos
, isto é,
Expliquei cada símbolo:
conta combinações,
vem de
com
, que simplifica para
independentemente de
.
Passo 5
Calculemos cada termo da soma. As combinações relevantes são:
Cada termo tem fator comum
. Então
Passo 6
Some os números:
Portanto
Podemos deixar na forma dada nas alternativas como
. (Se quisermos simplificar,
, mas como as opções estão sobre
, usamos
.)
Resposta
c)