Questão 6. (2,5) Para decidir sobre um prêmio a ser dado a um cliente, uma loja decide fazer um jogo que consiste em selecionar 3 bolas ao acaso e sem reposição de uma caixa. Existem 2 caixas com bolas das cores azul e amarela. A caixa 1 contém 3 bolas da cor azul e nenhuma amarela. A caixa 2 tem 3 bolas da cor azul e 3 da cor amarela. Para escolher de qual caixa as bolas serão retiradas, um dado honesto é lançado. Caso a face superior do dado seja 1 ou 2 , a caixa 1 é escolhida, caso contrário a caira 2 é escolhida. Para ganhar o premio todas as bolas selecionadas devem ser azuis.
(a)
Qual a probabilidade do cliente ganhar o premio?
(b)
Sabendo que o cliente ganhou o premio qual a probabilidade da caixa 1 ter sido escollida?
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A probabilidade do cliente ganhar o prêmio, isto é, a probabilidade de que as três bolas selecionadas sejam azuis.
- (b) Sabendo que o cliente ganhou o prêmio, a probabilidade de que a caixa escolhida tenha sido a caixa 1.
Informações dadas (vou listar explicitamente):
- A escolha da caixa é feita com um dado honesto: se sair face 1 ou 2 escolhe-se a caixa 1; caso contrário (faces 3,4,5,6) escolhe-se a caixa 2.
- Portanto
e . - Caixa 1: contém 3 bolas azuis e 0 amarelas.
- Caixa 2: contém 3 bolas azuis e 3 amarelas (total 6).
- Retiram-se 3 bolas sem reposição da caixa escolhida.
- Evento de interesse para ganhar: todas as 3 bolas retiradas são azuis.
Passo 2
Calcular
.
Explicação didática: na caixa 1 há só 3 bolas e todas são azuis. Como retiramos 3 bolas sem reposição, é certo que as 3 serão azuis — não existe outra cor. Podemos ver isso como produto das probabilidades sucessivas ou como combinação; ambos dão 1.
Produto sucessivo:
Portanto
Passo 3
Calcular
.
Explicação didática (método multiplicativo): na caixa 2 há 3 azuis e 3 amarelas, total 6. A probabilidade de tirar azul na primeira retirada é
. Se saiu azul, restam 2 azuis e 5 bolas, então a probabilidade de azul na segunda é
. Se saíram duas azuis, na terceira restará 1 azul entre 4 bolas, probabilidade
. Multiplicando:
Explicação alternativa (combinatória): número de maneiras de escolher 3 azuis entre as 3 azuis é
; número de maneiras de escolher 3 bolas quaisquer entre 6 é
. Logo probabilidade
. Ambas as abordagens são equivalentes.
Passo 4
Calcular a probabilidade total de ganhar usando a Lei da Probabilidade Total.
Explicação didática da fórmula: se um evento pode ocorrer dependendo de qual caixa foi escolhida, a probabilidade total é soma das probabilidades condicionais ponderadas pelas probabilidades de cada caixa:
Substituindo os valores que já encontramos:
Fazendo as contas passo a passo:
Como decimal aproximado,
.
Passo 5
Calcular
usando o Teorema de Bayes.
Explicação didática do Teorema de Bayes: se queremos a probabilidade de que uma hipótese (a caixa 1) seja verdadeira dado que observamos um evento (ganhar), a fórmula é
onde
é a probabilidade total que calculamos no passo anterior.
Substituindo valores:
Como checagem rápida, a probabilidade da caixa 2 dado que ganhou é
, faz sentido porque ganhar é muito mais provável se a caixa 1 foi escolhida (na caixa 1 ganhar é certo).
Resposta
(a)
(b)