Questão 6. (2,5) Para decidir sobre um prêmio a ser dado a um cliente, uma loja decide fazer um jogo que consiste em selecionar 3 bolas ao acaso e sem reposição de uma caixa. Existem 2 caixas com bolas das cores azul e amarela. A caixa 1 contém 3 bolas da cor azul e nenhuma amarela. A caixa 2 tem 3 bolas da cor azul e 3 da cor amarela. Para escolher de qual caixa as bolas serão retiradas, um dado honesto é lançado. Caso a face superior do dado seja 1 ou 2 , a caixa 1 é escolhida, caso contrário a caira 2 é escolhida. Para ganhar o premio todas as bolas selecionadas devem ser azuis.
(a) (1,5) Qual a probabilidade do cliente ganhar o premio?
(b) (1,0) Sabendo que o cliente ganhou o premio qual a probabilidade da caixa 1 ter sido escollida?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A probabilidade do cliente ganhar o prêmio, isto é, a probabilidade de que as três bolas selecionadas sejam azuis.
  2. (b) Sabendo que o cliente ganhou o prêmio, a probabilidade de que a caixa escolhida tenha sido a caixa 1.
Informações dadas (vou listar explicitamente):
  • A escolha da caixa é feita com um dado honesto: se sair face 1 ou 2 escolhe-se a caixa 1; caso contrário (faces 3,4,5,6) escolhe-se a caixa 2.
  • Portanto P(\text{caixa 1})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} e P(\text{caixa 2})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.
  • Caixa 1: contém 3 bolas azuis e 0 amarelas.
  • Caixa 2: contém 3 bolas azuis e 3 amarelas (total 6).
  • Retiram-se 3 bolas sem reposição da caixa escolhida.
  • Evento de interesse para ganhar: todas as 3 bolas retiradas são azuis.

Passo 2

Calcular P(\text{todas azuis} \mid \text{caixa 1}).
Explicação didática: na caixa 1 há só 3 bolas e todas são azuis. Como retiramos 3 bolas sem reposição, é certo que as 3 serão azuis — não existe outra cor. Podemos ver isso como produto das probabilidades sucessivas ou como combinação; ambos dão 1.
Produto sucessivo:
\left(\frac{3}{3}\right)\left(\frac{2}{2}\right)\left(\frac{1}{1}\right)=1.
Portanto
P(\text{todas azuis} \mid \text{caixa 1})=1.

Passo 3

Calcular P(\text{todas azuis} \mid \text{caixa 2}).
Explicação didática (método multiplicativo): na caixa 2 há 3 azuis e 3 amarelas, total 6. A probabilidade de tirar azul na primeira retirada é \dfrac{3}{6}. Se saiu azul, restam 2 azuis e 5 bolas, então a probabilidade de azul na segunda é \dfrac{2}{5}. Se saíram duas azuis, na terceira restará 1 azul entre 4 bolas, probabilidade \dfrac{1}{4}. Multiplicando:
P(\text{todas azuis} \mid \text{caixa 2})=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}.
Explicação alternativa (combinatória): número de maneiras de escolher 3 azuis entre as 3 azuis é \binom{3}{3}=1; número de maneiras de escolher 3 bolas quaisquer entre 6 é \binom{6}{3}=20. Logo probabilidade \dfrac{1}{20}. Ambas as abordagens são equivalentes.

Passo 4

Calcular a probabilidade total de ganhar usando a Lei da Probabilidade Total.
Explicação didática da fórmula: se um evento pode ocorrer dependendo de qual caixa foi escolhida, a probabilidade total é soma das probabilidades condicionais ponderadas pelas probabilidades de cada caixa:
P(\text{ganhar})=P(\text{caixa 1})\,P(\text{ganhar}\mid\text{caixa 1})+P(\text{caixa 2})\,P(\text{ganhar}\mid\text{caixa 2}).
Substituindo os valores que já encontramos:
P(\text{ganhar})=\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{20}.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{1}{3}=\frac{10}{30},\qquad \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{20}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30},
P(\text{ganhar})=\frac{10}{30}+\frac{1}{30}=\frac{11}{30}.
Como decimal aproximado, \dfrac{11}{30}\approx 0,3667.

Passo 5

Calcular P(\text{caixa 1}\mid \text{ganhou}) usando o Teorema de Bayes.
Explicação didática do Teorema de Bayes: se queremos a probabilidade de que uma hipótese (a caixa 1) seja verdadeira dado que observamos um evento (ganhar), a fórmula é
P(\text{caixa 1}\mid \text{ganhou})=\frac{P(\text{ganhou}\mid \text{caixa 1})\,P(\text{caixa 1})}{P(\text{ganhou})},
onde P(\text{ganhou}) é a probabilidade total que calculamos no passo anterior.
Substituindo valores:
P(\text{caixa 1}\mid \text{ganhou})=\frac{1\cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{11}{30}}=\frac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{11}{30}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{30}{11}=\frac{10}{11}.
Como checagem rápida, a probabilidade da caixa 2 dado que ganhou é 1-\dfrac{10}{11}=\dfrac{1}{11}, faz sentido porque ganhar é muito mais provável se a caixa 1 foi escolhida (na caixa 1 ganhar é certo).

Resposta

(a) \dfrac{11}{30}
(b) \dfrac{10}{11}

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