(b) Explicar o significado físico da função u(x,0) neste problema.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
A equação de onda tem velocidade c tal que c^{2}=49, portanto c=7.
As condições de contorno são de Dirichlet homogêneas em x=0 e x=1 (pontas fixas).
As condições iniciais são dadas explicitamente em termos de senos: deslocamento inicial 3\operatorname{sen}(5\pi x) e velocidade inicial -\operatorname{sen}(2\pi x)+5\operatorname{sen}(4\pi x).
Passo 2
Ideia do método (expansão em modos normais): para condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 as funções próprias espaciais são \sin(n\pi x) para n=1,2,\dots. Então procuramos uma solução como série de modos:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(t)\sin(n\pi x).
Explico por que: as \sin(n\pi x) satisfazem as condições em x=0,1 e formam um conjunto ortogonal em [0,1]. Cada modo espacial tem uma equação do tipo oscilador harmônico para o tempo.
Passo 3
Substituindo a série na equação de onda e usando a separação de modos, obtemos para cada n a equação ordinária
a_{n}''(t)+\omega_{n}^{2}a_{n}(t)=0,
onde \omega_{n} é a frequência angular do modo n. Para nossa equação,
Interpretação física de u(x,0): a função u(x,0) é o perfil inicial de deslocamento da corda (ou barra, dependendo do modelo) no instante t=0. Em outras palavras, para cada x entre 0 e 1, u(x,0) dá quanto a corda está deslocada da posição de equilíbrio naquele ponto no instante inicial. No problema aqui, a corda tem pontas fixas e no instante inicial sua forma é 3\sin(5\pi x) (ou seja, apenas o modo n=5 está presente no deslocamento inicial).