Questão 1.

(9P.)
(a) Determine a solução do problema
\begin{aligned} \partial_{t}^{2} u & =49 \partial_{x}^{2} u, \quad 0<x<1, t>0 ; \\\ u(0, t) & =0, \quad u(1, t)=0, t>0 ; \\\ u(x, 0) & =3 \operatorname{sen}(5 \pi x), \quad \partial_{t} u(x, 0)=-\operatorname{sen}(2 \pi x)+5 \operatorname{sen}(4 \pi x), \quad 0 \leq x \leq 1 . \end{aligned}
(b) Qual é o significado físico da função u(x, 0) neste problema?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a solução u(x,t) do problema de valor inicial e contorno
\partial_{t}^{2} u =49 \partial_{x}^{2} u,\quad 0<x<1,\; t>0,
u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0,
u(x,0)=3\operatorname{sen}(5\pi x),\quad \partial_{t}u(x,0)=-\operatorname{sen}(2\pi x)+5\operatorname{sen}(4\pi x),\quad 0\le x\le1.
  • (b) Explicar o significado físico da função u(x,0) neste problema.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • A equação de onda tem velocidade c tal que c^{2}=49, portanto c=7.
  • As condições de contorno são de Dirichlet homogêneas em x=0 e x=1 (pontas fixas).
  • As condições iniciais são dadas explicitamente em termos de senos: deslocamento inicial 3\operatorname{sen}(5\pi x) e velocidade inicial -\operatorname{sen}(2\pi x)+5\operatorname{sen}(4\pi x).

Passo 2

Ideia do método (expansão em modos normais): para condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 as funções próprias espaciais são \sin(n\pi x) para n=1,2,\dots. Então procuramos uma solução como série de modos:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(t)\sin(n\pi x).
Explico por que: as \sin(n\pi x) satisfazem as condições em x=0,1 e formam um conjunto ortogonal em [0,1]. Cada modo espacial tem uma equação do tipo oscilador harmônico para o tempo.

Passo 3

Substituindo a série na equação de onda e usando a separação de modos, obtemos para cada n a equação ordinária
a_{n}''(t)+\omega_{n}^{2}a_{n}(t)=0,
onde \omega_{n} é a frequência angular do modo n. Para nossa equação,
\omega_{n}=c\,n\pi=7n\pi.
A solução geral para a_{n}(t) é
a_{n}(t)=\alpha_{n}\cos(\omega_{n}t)+\beta_{n}\sin(\omega_{n}t),
onde \alpha_{n} e \beta_{n} são constantes a determinar a partir das condições iniciais.

Passo 4

Usando a série em t=0\) e na derivada temporal em \(t=0\) obtemos \[u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\sin(n\pi x),
\partial_{t}u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}\omega_{n}\beta_{n}\sin(n\pi x).
Para encontrar \alpha_{n} e \beta_{n} usamos a ortogonalidade das senos:
\int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx= \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \dfrac{1}{2},& n=m. \end{cases}
Multiplicando a expressão de u(x,0)\] por \(\sin(n\pi x) e integrando em [0,1] obtemos a fórmula
\alpha_{n}=2\int_{0}^{1}u(x,0)\sin(n\pi x)\,dx.
Analogamente, multiplicando \partial_{t}u(x,0) por \sin(n\pi x) e integrando dá
\omega_{n}\beta_{n}=2\int_{0}^{1}\partial_{t}u(x,0)\sin(n\pi x)\,dx,
ou seja
\beta_{n}=\frac{2}{\omega_{n}}\int_{0}^{1}\partial_{t}u(x,0)\sin(n\pi x)\,dx.]

Passo 5

Calculemos \alpha_{n} usando a condição u(x,0)=3\operatorname{sen}(5\pi x).
Para qualquer n,
\alpha_{n}=2\int_{0}^{1}3\operatorname{sen}(5\pi x)\sin(n\pi x)\,dx.
Pela ortogonalidade, esse integral é zero salvo quando n=5. Para n=5:
\alpha_{5}=2\int_{0}^{1}3\sin^{2}(5\pi x)\,dx.
Usamos \int_{0}^{1}\sin^{2}(k\pi x)\,dx=\tfrac{1}{2} para inteiro k. Assim
\alpha_{5}=2\cdot 3\cdot\frac{1}{2}=3.
Portanto \alpha_{n}=0 para n\ne5 e \alpha_{5}=3.

Passo 6

Calculemos \beta_{n} usando \partial_{t}u(x,0)=-\operatorname{sen}(2\pi x)+5\operatorname{sen}(4\pi x).
A fórmula é
\beta_{n}=\frac{2}{\omega_{n}}\int_{0}^{1}\big(-\sin(2\pi x)+5\sin(4\pi x)\big)\sin(n\pi x)\,dx.
Pela ortogonalidade, só há contribuições para n=2 e n=4.
  • Para n=2:
\int_{0}^{1}-\sin(2\pi x)\sin(2\pi x)\,dx=-\frac{1}{2}.
Logo
\beta_{2}=\frac{2}{\omega_{2}}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{\omega_{2}}.
E como \omega_{2}=7\cdot2\pi=14\pi, temos
\beta_{2}=-\frac{1}{14\pi}.
  • Para n=4:
\int_{0}^{1}5\sin(4\pi x)\sin(4\pi x)\,dx=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.
Portanto
\beta_{4}=\frac{2}{\omega_{4}}\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{\omega_{4}}.
E \omega_{4}=7\cdot4\pi=28\pi, então
\beta_{4}=\frac{5}{28\pi}.
Para todo n diferente de 2,4 temos \beta_{n}=0.

Passo 7

Agora escrevemos a solução usando apenas os modos não nulos ( n=2,4,5):
u(x,t)=\alpha_{5}\cos(\omega_{5}t)\sin(5\pi x) +\beta_{2}\sin(\omega_{2}t)\sin(2\pi x) +\beta_{4}\sin(\omega_{4}t)\sin(4\pi x).
Substituindo os valores calculados \alpha_{5}=3, \beta_{2}=-\dfrac{1}{14\pi}, \beta_{4}=\dfrac{5}{28\pi} e \omega_{n}=7n\pi, obtemos
u(x,t)=3\cos(35\pi t)\sin(5\pi x) -\frac{1}{14\pi}\sin(14\pi t)\sin(2\pi x) +\frac{5}{28\pi}\sin(28\pi t)\sin(4\pi x).

Passo 8

Interpretação física de u(x,0): a função u(x,0) é o perfil inicial de deslocamento da corda (ou barra, dependendo do modelo) no instante t=0. Em outras palavras, para cada x entre 0 e 1, u(x,0) dá quanto a corda está deslocada da posição de equilíbrio naquele ponto no instante inicial. No problema aqui, a corda tem pontas fixas e no instante inicial sua forma é 3\sin(5\pi x) (ou seja, apenas o modo n=5 está presente no deslocamento inicial).

Resposta

u(x,t)=3\cos(35\pi t)\sin(5\pi x)-\dfrac{1}{14\pi}\sin(14\pi t)\sin(2\pi x)+\dfrac{5}{28\pi}\sin(28\pi t)\sin(4\pi x)
u(x,0) é o perfil de deslocamento inicial da corda (a forma da corda no instante t=0).

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