Questão 14. Calcule frac{d y}{d x} :
y=\frac{3 x^{3}+7 x^{4}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dy}{dx} da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é y=\dfrac{3x^{3}+7x^{4}}{x^{2}}.
  • Não há outras restrições explícitas, mas a expressão original tem divisão por x^{2}, então a escrita original não está definida em x=0.
O objetivo é obter a derivada \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar. Usamos a propriedade básica de frações: \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}. Aplicando isso em
y=\dfrac{3x^{3}+7x^{4}}{x^{2}}
temos
y=\dfrac{3x^{3}}{x^{2}}+\dfrac{7x^{4}}{x^{2}}.

Passo 3

Agora simplificamos cada termo dividindo potências de x. Lembre que para x\neq0,
\dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.
Aplicando com m=3,n=2 e com m=4,n=2:
\dfrac{3x^{3}}{x^{2}}=3x^{3-2}=3x^{1}=3x, \qquad \dfrac{7x^{4}}{x^{2}}=7x^{4-2}=7x^{2}.
Portanto, para x\neq0,
y=3x+7x^{2}.
Observação sobre domínio: a expressão original não está definida em x=0. A forma simplificada 3x+7x^{2} é um polinômio definido em todo \mathbb{R}, mas é equivalente à função original apenas para x\neq0. Para calcular a derivada a partir da expressão original podemos trabalhar com a forma simplificada e lembrar dessa observação (se for preciso analisar x=0 separadamente).

Passo 4

Vamos aplicar agora as regras de derivação necessárias. As duas regras que vamos usar são:
  • Regra do múltiplo constante: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x), onde c é constante.
  • Regra da potência (power rule): \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}, onde n é um número real.
Aqui y é soma de termos, e a derivada da soma é a soma das derivadas. Assim, se y=3x+7x^{2}, então
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(3x)+\dfrac{d}{dx}(7x^{2}).

Passo 5

Calculamos cada derivada separadamente.
  • Para 3x: é uma constante multiplicando x. Usando a regra da potência com n=1,
\dfrac{d}{dx}(x)=1\quad\Rightarrow\quad \dfrac{d}{dx}(3x)=3\cdot 1=3.
  • Para 7x^{2}: aplicando a regra da potência com n=2 e a regra do múltiplo constante,
\dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x\quad\Rightarrow\quad \dfrac{d}{dx}(7x^{2})=7\cdot 2x=14x.
Somando os resultados:
\dfrac{dy}{dx}=3+14x.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida: poderíamos também ter aplicado a regra do quociente diretamente em \dfrac{3x^{3}+7x^{4}}{x^{2}}, mas simplificar primeiro é mais simples e menos propenso a erro. O resultado final coincide com o que a aplicação direta do quociente (ou da simplificação) daria para x\neq0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=3+14x

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