Questão 14. Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Não há outras restrições explícitas, mas a expressão original tem divisão por
, então a escrita original não está definida em .
O objetivo é obter a derivada
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar. Usamos a propriedade básica de frações:
. Aplicando isso em
temos
Passo 3
Agora simplificamos cada termo dividindo potências de
. Lembre que para
,
Aplicando com
e com
:
Portanto, para
,
Observação sobre domínio: a expressão original não está definida em
. A forma simplificada
é um polinômio definido em todo
, mas é equivalente à função original apenas para
. Para calcular a derivada a partir da expressão original podemos trabalhar com a forma simplificada e lembrar dessa observação (se for preciso analisar
separadamente).
Passo 4
Vamos aplicar agora as regras de derivação necessárias. As duas regras que vamos usar são:
- Regra do múltiplo constante:
, onde é constante. - Regra da potência (power rule):
, onde é um número real.
Aqui
é soma de termos, e a derivada da soma é a soma das derivadas. Assim, se
, então
Passo 5
Calculamos cada derivada separadamente.
- Para
: é uma constante multiplicando . Usando a regra da potência com ,
- Para
: aplicando a regra da potência com e a regra do múltiplo constante,
Somando os resultados:
Passo 6
Comentário final e checagem rápida: poderíamos também ter aplicado a regra do quociente diretamente em
, mas simplificar primeiro é mais simples e menos propenso a erro. O resultado final coincide com o que a aplicação direta do quociente (ou da simplificação) daria para
.