Questão 14. Calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
. Ou seja, encontrar a derivada de
em relação a
. Vou fazer isso termo a termo, explicando as regras que uso.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a regra principal que vou usar: a regra da potência. Para uma função do tipo
, com
real, a derivada é
O que isso significa:
-
é a variável independente. -
é o expoente (pode ser inteiro, racional ou real). - Para derivar, multiplica-se por
e subtrai-se do expoente (faz-se ).
Exemplo simples para ver a ideia: se, então . Agora aplicamos exatamente isso aos dois termos da função.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
com a regra da potência:
o expoente é , então
o expoente é
Calcule o novo expoente:
Logo a derivada do primeiro termo é
Passo 4
Interpretação e formas equivalentes do resultado do Passo 3:
Também é útil notar que
(ou seja, o quadrado da raiz cúbica de
), então o denominador é sempre não negativo. Essa forma mostra melhor o comportamento quando
é pequeno.
Passo 5
Derivando o segundo termo
:
o expoente é , então
o expoente é
Calcule o novo expoente:
Portanto a derivada do segundo termo é
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos (regra da linearidade da derivada: derivada da soma é soma das derivadas), obtemos
Ou, de forma equivalente,
Passo 7
Observação sobre o ponto
: cada termo da expressão da derivada contém uma potência negativa de
, por isso essas expressões não são finitas em
. Conclusão prática: a fórmula obtida vale para
. Em
a derivada não existe (tende a infinito), embora a própria função esteja definida em
com
.