Questão 14. Calcule frac{d y}{d x} :
y=x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{5}{7}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{5}{7}}
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}. Ou seja, encontrar a derivada de y em relação a x. Vou fazer isso termo a termo, explicando as regras que uso.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a regra principal que vou usar: a regra da potência. Para uma função do tipo x^{n}, com n real, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
O que isso significa:
  • x é a variável independente.
  • n é o expoente (pode ser inteiro, racional ou real).
  • Para derivar, multiplica-se por n e subtrai-se 1 do expoente (faz-se n-1).
    Exemplo simples para ver a ideia: se y=x^{2}, então \dfrac{dy}{dx}=2x^{1}=2x. Agora aplicamos exatamente isso aos dois termos da função.

Passo 3

Derivando o primeiro termo x^{\frac{1}{3}} com a regra da potência:
o expoente é n=\tfrac{1}{3}, então
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac{1}{3}}\bigr)=\tfrac{1}{3}\,x^{\tfrac{1}{3}-1}.
Calcule o novo expoente:
\tfrac{1}{3}-1=\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{3}=-\tfrac{2}{3}.
Logo a derivada do primeiro termo é
\tfrac{1}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Interpretação e formas equivalentes do resultado do Passo 3:
\tfrac{1}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{\tfrac{2}{3}}}=\frac{1}{3x^{\tfrac{2}{3}}}.
Também é útil notar que x^{\tfrac{2}{3}}=(x^{\tfrac{1}{3}})^{2} (ou seja, o quadrado da raiz cúbica de x), então o denominador é sempre não negativo. Essa forma mostra melhor o comportamento quando x é pequeno.

Passo 5

Derivando o segundo termo x^{\frac{5}{7}}:
o expoente é n=\tfrac{5}{7}, então
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac{5}{7}}\bigr)=\tfrac{5}{7}\,x^{\tfrac{5}{7}-1}.
Calcule o novo expoente:
\tfrac{5}{7}-1=\tfrac{5}{7}-\tfrac{7}{7}=-\tfrac{2}{7}.
Portanto a derivada do segundo termo é
\tfrac{5}{7}\,x^{-\tfrac{2}{7}}=\frac{5}{7x^{\tfrac{2}{7}}}.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos (regra da linearidade da derivada: derivada da soma é soma das derivadas), obtemos
\frac{dy}{dx}=\tfrac{1}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}}+\tfrac{5}{7}\,x^{-\tfrac{2}{7}}.
Ou, de forma equivalente,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3x^{\tfrac{2}{3}}}+\frac{5}{7x^{\tfrac{2}{7}}}.

Passo 7

Observação sobre o ponto x=0: cada termo da expressão da derivada contém uma potência negativa de x, por isso essas expressões não são finitas em x=0. Conclusão prática: a fórmula obtida vale para x\neq 0. Em x=0 a derivada não existe (tende a infinito), embora a própria função esteja definida em 0 com y(0)=0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{3}x^{-\tfrac{2}{3}}+\dfrac{5}{7}x^{-\tfrac{2}{7}}

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