Questão 14. Calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de
e pede a sua derivada em relação a
. Informação fornecida:
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
O que vamos usar (fórmulas e ideias que preciso te ensinar antes de aplicar):
- Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes saem da derivada. Em fórmula:
onde
e
são constantes e
são funções de
.
- Regra do expoente (power rule): para qualquer número real
,
Explicando devagar: a expressão
significa multiplicar
por si mesmo
vezes quando
é inteiro positivo; a regra diz que a derivada reduz o expoente em
e multiplica pelo expoente original
. Aqui
pode ser negativo (como nos nossos termos) e a regra continua valendo.
Passo 3
Aplicando a linearidade à função dada: vamos derivar termo a termo.
Segundo a linearidade, podemos tirar as constantes
e
para fora da derivada:
Passo 4
Agora usamos a regra do expoente em cada termo. Para o primeiro termo, tome
. Pela regra,
Portanto o primeiro termo vira
Passo 5
Para o segundo termo, tome
. Pela regra,
Portanto o segundo termo vira
Passo 6
Agora calculamos os produtos numéricos:
Passo 7
Somando os dois resultados obtemos a derivada final:
Passo 8
Opcional: escrever sem expoentes negativos (às vezes mais claro na prova):