Questão 14. Calcule frac{d y}{d x} :
y=7 x^{-6}+2 x^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a função y em termos de x e pede a sua derivada em relação a x. Informação fornecida:
  • y = 7 x^{-6} + 2 x^{-2}.
O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

O que vamos usar (fórmulas e ideias que preciso te ensinar antes de aplicar):
  • Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes saem da derivada. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\big( a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\big) = a\cdot\frac{d}{dx}f(x) + b\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde a e b são constantes e f,g são funções de x.
  • Regra do expoente (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Explicando devagar: a expressão x^{n} significa multiplicar x por si mesmo n vezes quando n é inteiro positivo; a regra diz que a derivada reduz o expoente em 1 e multiplica pelo expoente original n. Aqui n pode ser negativo (como nos nossos termos) e a regra continua valendo.

Passo 3

Aplicando a linearidade à função dada: vamos derivar termo a termo.
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\big(7 x^{-6}\big)+\frac{d}{dx}\big(2 x^{-2}\big).
Segundo a linearidade, podemos tirar as constantes 7 e 2 para fora da derivada:
\frac{dy}{dx}=7\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-6}\big)+2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big).

Passo 4

Agora usamos a regra do expoente em cada termo. Para o primeiro termo, tome n=-6. Pela regra,
\frac{d}{dx}\big(x^{-6}\big) = -6\,x^{-7}.
Portanto o primeiro termo vira
7\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-6}\big)=7\cdot\big(-6\,x^{-7}\big).

Passo 5

Para o segundo termo, tome n=-2. Pela regra,
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big) = -2\,x^{-3}.
Portanto o segundo termo vira
2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big)=2\cdot\big(-2\,x^{-3}\big).

Passo 6

Agora calculamos os produtos numéricos:
7\cdot(-6)\,x^{-7} = -42\,x^{-7}, \qquad 2\cdot(-2)\,x^{-3} = -4\,x^{-3}.

Passo 7

Somando os dois resultados obtemos a derivada final:
\frac{dy}{dx} = -42\,x^{-7} - 4\,x^{-3}.

Passo 8

Opcional: escrever sem expoentes negativos (às vezes mais claro na prova):
\frac{dy}{dx} = -\dfrac{42}{x^{7}} - \dfrac{4}{x^{3}}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{42}{x^{7}} - \dfrac{4}{x^{3}}

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