Questão 14. Calcule
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
para a função dada.
Informação que temos: a função é
Informação que temos: a função é
Ou seja, é uma combinação (diferença) de dois termos: um termo proporcional a
e um termo do tipo
. O domínio implícito exige
(pois
não está definida em
).
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
- Regra da soma/diferença: a derivada de uma soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas. Em símbolos,
Isto significa que podemos derivar termo a termo.
- Regra do fator constante: se
é constante e é função, então
Ou seja, posso “puxar” constantes para fora da derivada.
- Regra da potência (caso mais direto aqui): para qualquer expoente real
,
Isso é muito útil para
, porque
e aí aplicamos essa regra.
Passo 3
Primeiro passo prático: reescrever a função usando potência para ficar mais simples de derivar:
(Aqui converti
em
.)
Passo 4
Agora derivamos termo a termo, aplicando as regras acima.
Derivada do primeiro termo
:
- Usando a regra do fator constante, temos
- E
, logo
Derivada do segundo termo
:
- Primeiro calcule
usando a regra da potência com :
- Como o termo na função é
, aplicando a linearidade:
Observação:
.
Passo 5
Juntando as derivadas dos dois termos (pela regra da soma/diferença), obtemos a derivada da função como a soma das derivadas parciais que calculamos. Lembrar que tudo vale para
, porque a função original não existe em
.