Questão 14. Calcule frac{d y}{d x} :
y=\sqrt{2} x-\frac{1}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \dfrac{d y}{d x} para a função dada.
Informação que temos: a função é
y=\sqrt{2}\,x-\frac{1}{x}.
Ou seja, é uma combinação (diferença) de dois termos: um termo proporcional a x e um termo do tipo 1/x. O domínio implícito exige x\neq0 (pois \dfrac{1}{x} não está definida em 0).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
  • Regra da soma/diferença: a derivada de uma soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\big(u(x)\pm v(x)\big)=\frac{du}{dx}\pm\frac{dv}{dx}.
Isto significa que podemos derivar termo a termo.
  • Regra do fator constante: se a é constante e f(x) é função, então
\frac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)\big)=a\cdot\frac{d}{dx}f(x).
Ou seja, posso “puxar” constantes para fora da derivada.
  • Regra da potência (caso mais direto aqui): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Isso é muito útil para 1/x, porque 1/x=x^{-1} e aí aplicamos essa regra.

Passo 3

Primeiro passo prático: reescrever a função usando potência para ficar mais simples de derivar:
y=\sqrt{2}\,x - x^{-1}.
(Aqui converti \dfrac{1}{x} em x^{-1}.)

Passo 4

Agora derivamos termo a termo, aplicando as regras acima.
Derivada do primeiro termo \sqrt{2}\,x:
  • Usando a regra do fator constante, temos
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{2}\,x\big)=\sqrt{2}\cdot\frac{d}{dx}x.
  • E \dfrac{d}{dx}x=1, logo
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{2}\,x\big)=\sqrt{2}.
Derivada do segundo termo -x^{-1}:
  • Primeiro calcule \dfrac{d}{dx}x^{-1} usando a regra da potência com n=-1:
\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
  • Como o termo na função é -x^{-1}, aplicando a linearidade:
\frac{d}{dx}\big(-x^{-1}\big)=-\frac{d}{dx}x^{-1}=-(-x^{-2})=x^{-2}.
Observação: x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Juntando as derivadas dos dois termos (pela regra da soma/diferença), obtemos a derivada da função como a soma das derivadas parciais que calculamos. Lembrar que tudo vale para x\neq0, porque a função original não existe em x=0.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\sqrt{2}+\frac{1}{x^{2}}

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