Questão 14: Considere os subespaços vetoriais do mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} W_{1}=\{(x, y, z) \mid x-2 z=0\}\\\ W_{2}=\{(x, y, z) \mid 2 y+z=0\}\\\ W_{3}=[(1,1,1),(1,-1,2)]\\\ W_{4}=[(1,2,3),(2,-3,2)] \end{gathered}
Determine uma base e a dimensão de:
W_{1} \cap W_{2}

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3 e pede especificamente o que é o espaço W_{1}\cap W_{2}. Informações relevantes extraídas do enunciado:
W_{1}=\{(x,y,z)\mid x-2z=0\},
W_{2}=\{(x,y,z)\mid 2y+z=0\}.
A tarefa é determinar uma base de W_{1}\cap W_{2} e a dimensão desse espaço.

Passo 2

Vamos escrever W_{1} de forma paramétrica (isso facilita achar interseções). A condição de W_{1} é x-2z=0, ou seja:
x=2z.
Escolho parâmetros para as coordenadas livres: seja z=s e y=t. Então um vetor arbitrário de W_{1} é
(x,y,z)=(2s,t,s)=s(2,0,1)+t(0,1,0).
Portanto
W_{1}=\operatorname{span}\{(2,0,1),(0,1,0)\}.
Explicação rápida sobre base/dimensão: uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço; a dimensão é o número de vetores na base. Aqui os vetores (2,0,1) e (0,1,0) são linearmente independentes porque a combinação
a(2,0,1)+b(0,1,0)=(0,0,0)
implica nas equações 2a=0 e b=0, logo a=b=0. Logo \dim(W_{1})=2.

Passo 3

Analogamente, escrevemos W_{2} de forma paramétrica. A condição é 2y+z=0, então
z=-2y.
Escolho parâmetros: seja x=u e y=v. Então um vetor arbitrário de W_{2} é
(x,y,z)=(u,v,-2v)=u(1,0,0)+v(0,1,-2).
Portanto
W_{2}=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,-2)\}.
Os vetores (1,0,0) e (0,1,-2) são linearmente independentes (uma combinação nula força os coeficientes a serem zero), então \dim(W_{2})=2.

Passo 4

Agora buscamos W_{1}\cap W_{2}: vetores (x,y,z) que satisfazem simultaneamente
x-2z=0\quad\text{e}\quad 2y+z=0.
Resolve-se esse sistema. Da segunda equação temos z=-2y. Substituindo na primeira:
x-2(-2y)=0 \implies x+4y=0 \implies x=-4y.
Tomando y=t como parâmetro livre, obtemos
(x,y,z)=(-4t,t,-2t)=t(-4,1,-2).
Isso mostra que todo vetor em W_{1}\cap W_{2} é múltiplo escalar de (-4,1,-2); assim
W_{1}\cap W_{2}=\operatorname{span}\{(-4,1,-2)\}.

Passo 5

Verificações e comentários didáticos: o conjunto gerado por um único vetor não-nulo é uma reta (subespaço unidimensional). Para checar que (-4,1,-2) realmente pertence a ambos os subespaços, plugamos nas equações originais: para W_{1}, x-2z=-4-2(-2)=-4+4=0; para W_{2}, 2y+z=2\cdot1+(-2)=0. Ambas satisfeitas, então o vetor está em W_{1}\cap W_{2}. Como o gerador é não-nulo, a dimensão da interseção é 1.

Resposta

Base: \{(-4,1,-2)\}
Dimensão: \dim(W_{1}\cap W_{2})=1

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