Questão 14: Considere os subespaços vetoriais do
:
Determine uma base e a dimensão de:
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
e pede especificamente o que é o espaço
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A tarefa é determinar uma base de
e a dimensão desse espaço.
Passo 2
Vamos escrever
de forma paramétrica (isso facilita achar interseções). A condição de
é
, ou seja:
Escolho parâmetros para as coordenadas livres: seja
e
. Então um vetor arbitrário de
é
Portanto
Explicação rápida sobre base/dimensão: uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço; a dimensão é o número de vetores na base. Aqui os vetores
e
são linearmente independentes porque a combinação
implica nas equações
e
, logo
. Logo
.
Passo 3
Analogamente, escrevemos
de forma paramétrica. A condição é
, então
Escolho parâmetros: seja
e
. Então um vetor arbitrário de
é
Portanto
Os vetores
e
são linearmente independentes (uma combinação nula força os coeficientes a serem zero), então
.
Passo 4
Agora buscamos
: vetores
que satisfazem simultaneamente
Resolve-se esse sistema. Da segunda equação temos
. Substituindo na primeira:
Tomando
como parâmetro livre, obtemos
Isso mostra que todo vetor em
é múltiplo escalar de
; assim
Passo 5
Verificações e comentários didáticos: o conjunto gerado por um único vetor não-nulo é uma reta (subespaço unidimensional). Para checar que
realmente pertence a ambos os subespaços, plugamos nas equações originais: para
,
; para
,
. Ambas satisfeitas, então o vetor está em
. Como o gerador é não-nulo, a dimensão da interseção é
.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: