Questão 14: Considere vetores u, v e w, com u neq 0. Se v cdot u=w cdot u então v=w ?

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores u,v,w com uneq0 e que
vcdotu=wcdotu.
A pergunta é se disso segue necessariamente que v=w. Vamos usar a definição de produto escalar e o conceito de ortogonalidade.

Passo 2

Da igualdade vcdotu=wcdotu subtraímos os dois lados e, pela bilinearidade do produto escalar, obtemos
(v-w)cdotu=0
Isso diz que o vetor v-w é ortogonal a u.

Passo 3

Geometricamente, dizer que v-w é ortogonal a u significa que v-w pode ser qualquer vetor no subespaço perpendicular a u. Como uneq0 e o espaço ambiente tem dimensão >=2, existem infinitos vetores não nulos ortogonais a u. Portanto não podemos assegurar que v-w=0.

Passo 4

Um contraexemplo em R^2:
u=(1,0), v=(0,1), w=(0,2).
Aqui
vcdotu=0 e wcdotu=0,
porém vneqw. Logo a condição não garante v=w.

Resposta

Não. De vcdotu=wcdotu só se segue que (v-w)cdotu=0, ou seja, v-wperpu, mas isso não implica v=w.

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