Questão 14: Considere vetores
e
, com
. Se
então
?
Passo 1
O enunciado diz que temos vetores
com
e que
.
A pergunta é se disso segue necessariamente que . Vamos usar a definição de produto escalar e o conceito de ortogonalidade.
A pergunta é se disso segue necessariamente que
Passo 2
Da igualdade
subtraímos os dois lados e, pela bilinearidade do produto escalar, obtemos
Isso diz que o vetor
é ortogonal a
.
Passo 3
Geometricamente, dizer que
é ortogonal a
significa que
pode ser qualquer vetor no subespaço perpendicular a
. Como
e o espaço ambiente tem dimensão
, existem infinitos vetores não nulos ortogonais a
. Portanto não podemos assegurar que
.
Passo 4
Um contraexemplo em
:
,
,
.
Aqui
e
,
porém . Logo a condição não garante
.
Aqui
porém
Resposta
Não. De
só se segue que
, ou seja,
, mas isso não implica
.