Questão 15: Considere vecu e vecv vetores quaisquer. Prove que:
vecu cdot vecv=14(|u+v|^2-|u-v|^2).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade que relaciona o produto interno de dois vetores u e v com as normas de u+v e u-v. O que vamos usar é a definição de norma em termos de produto interno, isto é, |vec w|^2 = vec wcdotvec w, e as propriedades bilineares do produto interno.

Passo 2

Calculemos primeiro a norma ao quadrado da soma:
|u+v|^2 = (u+v)cdot(u+v) = ucdotu + 2,ucdotv + vcdotv
Em seguida, a norma ao quadrado da diferença:
|u-v|^2 = (u-v)cdot(u-v) = ucdotu - 2,ucdotv + vcdotv

Passo 3

Subtraindo as duas expressões, temos
|u+v|^2 - |u-v|^2 = l(ucdotu + 2,ucdotv + vcdotvr) - l(ucdotu - 2,ucdotv + vcdotvr) = 4,ucdotv

Passo 4

Bast a dividir ambos os lados por 4 para isolar ucdotv:
ucdotv = 14l(|u+v|^2 - |u-v|^2r)

Resposta

ucdotv = 14l(|u+v|^2 - |u-v|^2r)

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