(Questão 4)[2,00]
(a) Prove que se E=(e1, e2, e3) é uma base ortonormal, então todo vetor u pode ser escrito como
u=proje1 u+proje2 u+proje3 u
(b) Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores u=(2,-2,0), v= (0,1,0), w=(-2,-1,-1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que, em uma base ortonormal E=(vec e1,vec e2,vec e3), qualquer vetor vec u se decompõe como soma de projeções ortogonais sobre os vetores de E;
(b) calcular o volume do paralelepípedo gerado por vec u=(2,-2,0), vec v=(0,1,0) e vec w=(-2,-1,-1).
Vamos usar a definição de projeção em base ortonormal e a relação do volume com o produto misto (determinante ou produto escalar de vec u com vec vtimesvec w).

Passo 2

Em uma base ortonormal, todo vetor vec u admite expansão única
vec u = c1,vec e1+c2,vec e2+c3,vec e3,
onde, pela propriedade de ortonormalidade,
ci=vec ucdotvec ei
Mas por definição a projeção de vec u em vec ei é
projvec eivec u =(vec ucdotvec ei),vec ei
Somando as três projeções vem
sumi=1^3projvec eivec u =sumi=1^3(vec ucdotvec ei),vec ei =sumi=1^3ci,vec ei =vec u

Passo 3

Para o volume do paralelepípedo, usamos que
V = l|det[vec u,vec v,vec w]r| = l|vec ucdot(vec vtimesvec w)r|

Passo 4

Calculemos o produto vetorial
vec vtimesvec w = i&j&k 0&1&0 -2&-1&-1 =(1cdot(-1)-0cdot(-1)),i -l(0cdot(-1)-0cdot(-2)r),j +(0cdot(-1)-1cdot(-2)),k,
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vec vtimesvec w =(-1,0,2)

Passo 5

Agora o produto misto
vec ucdot(vec vtimesvec w) =(2,-2,0)cdot(-1,0,2) =2cdot(-1)+(-2)cdot0+0cdot2 =-2
Portanto o volume é
V=l|-2r|=2

Resposta

(a) Em base ortonormal vec u=sumi=1^3projvec eivec u.
(b) O volume do paralelepípedo é 2.

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