(Questão 4)[2,00]
(a) Prove que se é uma base ortonormal, então todo vetor u pode ser escrito como
u=proje1 u+proje2 u+proje3 u
(b) Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores u=(2,-2,0), v=(0,1,0), w=(-2,-1,-1).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que, em uma base ortonormal E=(vec e1,vec e2,vec e3), qualquer vetor vec u se decompõe como soma de projeções ortogonais sobre os vetores de E;
(b) calcular o volume do paralelepípedo gerado por vec u=(2,-2,0), vec v=(0,1,0) e vec w=(-2,-1,-1).
Vamos usar a definição de projeção em base ortonormal e a relação do volume com o produto misto (determinante ou produto escalar de vec u com vec vtimesvec w).
Passo 2
Em uma base ortonormal, todo vetor vec u admite expansão única
vec u = c1,vec e1+c2,vec e2+c3,vec e3,
onde, pela propriedade de ortonormalidade,
ci=vec ucdotvec ei
Mas por definição a projeção de vec u em vec ei é
projvec eivec u =(vec ucdotvec ei),vec ei
Somando as três projeções vem
sumi=1^3projvec eivec u =sumi=1^3(vec ucdotvec ei),vec ei =sumi=1^3ci,vec ei =vec u