Questão 14. Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa e pontos de estagnação) sobre um cilindro circular causado por um dipolo com o eixo orientado no sentido do centro do cilindro. O dipolo está localizado a uma distância D>R do centro do cilindro, sendo R o raio. Utilize o script em octave para gerar as linhas de corrente. Que singularidades foram adicionadas para satisfazer a condição de contorno da superfície do cilindro? Onde foram posicionadas e qual a orientação dessas singularidades, no caso de dipolo e/ou vórtice?
Passo 1
O enunciado pede o escoamento potencial em torno de um cilindro de raio R causado por um dipolo de momento \mu localizado em z_{0}=D (com D>R) e apontando na direção do centro do cilindro (eixo real). Vamos usar potencial complexo e método das imagens para impor a condição de não-penetração na superfície \lvert z\rvert=R. Precisamos obter
o potencial complexo W(z),
a velocidade complexa w(z)=\displaystyle\frac{dW}{dz},
os pontos de estagnação, e
identificar as singularidades imagem que garantem impermeabilidade no contorno.
Passo 2
O potencial complexo de um dipolo de momento \mu orientado ao longo do eixo real (sentido positivo para fora do cilindro) e centrado em z_{0}=D é
W_{d}(z) =-\,\frac{\mu}{2\pi}\,\frac{1}{z - D}\,.
Aqui assume-se a convenção de sinal em que W\to-\mu/(2\pi z) para z\to\infty.
Passo 3
Para satisfazer \Im W(z)=\text{constante} em \lvert z\rvert=R (impermeabilidade), aplicamos o método das imagens: introduzimos um dipolo imagem interno com
Resolvendo para z sobre \lvert z\rvert=R obtém-se dois pontos simétricos no eixo real, um em z=R (mais próximo do dipolo) e outro em z=-R.
Passo 6
Singularidades inseridas para impor impermeabilidade:
Para o dipolo externo em z_{0}=D, foi colocado um dipolo imagem em z_{i}=R^{2}/D, com momento \mu_{i}=\mu\,R^{2}/D^{2} e mesma orientação no eixo real.
Caso houvesse um vórtice de circulação \Gamma em z_{0}, o método das imagens pediria um vórtice de circulação oposta -\Gamma em z_{i}=R^{2}/\overline{z_{0}}.
Resposta
Foram adicionados, além do dipolo externo em z_{0}=D, um dipolo imagem em
com mesma orientação ao longo do eixo real, de modo a anular a velocidade normal em \lvert z\rvert=R. No caso de um vórtice haveria também um vórtice imagem em z_{i} com circulação oposta.