Questão 14. Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa e pontos de estagnação) sobre um cilindro circular causado por um dipolo com o eixo orientado no sentido do centro do cilindro. O dipolo está localizado a uma distância D>R do centro do cilindro, sendo R o raio. Utilize o script em octave para gerar as linhas de corrente. Que singularidades foram adicionadas para satisfazer a condição de contorno da superfície do cilindro? Onde foram posicionadas e qual a orientação dessas singularidades, no caso de dipolo e/ou vórtice?

Passo 1

O enunciado pede o escoamento potencial em torno de um cilindro de raio R causado por um dipolo de momento \mu localizado em z_{0}=D (com D>R) e apontando na direção do centro do cilindro (eixo real). Vamos usar potencial complexo e método das imagens para impor a condição de não-penetração na superfície \lvert z\rvert=R. Precisamos obter
  1. o potencial complexo W(z),
  2. a velocidade complexa w(z)=\displaystyle\frac{dW}{dz},
  3. os pontos de estagnação, e
  4. identificar as singularidades imagem que garantem impermeabilidade no contorno.

Passo 2

O potencial complexo de um dipolo de momento \mu orientado ao longo do eixo real (sentido positivo para fora do cilindro) e centrado em z_{0}=D é
W_{d}(z) =-\,\frac{\mu}{2\pi}\,\frac{1}{z - D}\,.
Aqui assume­-se a convenção de sinal em que W\to-\mu/(2\pi z) para z\to\infty.

Passo 3

Para satisfazer \Im W(z)=\text{constante} em \lvert z\rvert=R (impermeabilidade), aplicamos o método das imagens: introduzimos um dipolo imagem interno com
z_{i}=\frac{R^{2}}{\overline{z_{0}}} =\frac{R^{2}}{D} \quad\text{e}\quad \mu_{i}=\mu\,\frac{R^{2}}{\,\lvert z_{0}\rvert^{2}\!} =\mu\,\frac{R^{2}}{D^{2}}\,,
mesma orientação no eixo real. O potencial total fica
W(z) =W_{d}(z)+W_{d}^{\rm imagem}(z) =-\frac{\mu}{2\pi}\,\frac{1}{z-D} \;-\;\frac{\mu_{i}}{2\pi}\,\frac{1}{\,z - \tfrac{R^{2}}{D}\!}\,.

Passo 4

A velocidade complexa é a derivada
w(z)=\frac{dW}{dz} =\frac{\mu}{2\pi}\,\frac{1}{(z-D)^{2}} +\frac{\mu_{i}}{2\pi}\,\frac{1}{\bigl(z-\tfrac{R^{2}}{D}\bigr)^{2}}\,.
Este campo satisfaz \Re[w\,e^{-i\theta}]=0 em \lvert z\rvert=R, garantindo que a velocidade normal à superfície seja zero.

Passo 5

Os pontos de estagnação satisfazem w(z)=0, ou seja
\frac{\mu}{(z-D)^{2}} +\frac{\mu\,\tfrac{R^{2}}{D^{2}}}{\bigl(z-\tfrac{R^{2}}{D}\bigr)^{2}} =0.
Resolvendo para z sobre \lvert z\rvert=R obtém-se dois pontos simétricos no eixo real, um em z=R (mais próximo do dipolo) e outro em z=-R.

Passo 6

Singularidades inseridas para impor impermeabilidade:
  • Para o dipolo externo em z_{0}=D, foi colocado um dipolo imagem em z_{i}=R^{2}/D, com momento \mu_{i}=\mu\,R^{2}/D^{2} e mesma orientação no eixo real.
  • Caso houvesse um vórtice de circulação \Gamma em z_{0}, o método das imagens pediria um vórtice de circulação oposta -\Gamma em z_{i}=R^{2}/\overline{z_{0}}.

Resposta

Foram adicionados, além do dipolo externo em z_{0}=D, um dipolo imagem em
z_{i}=\frac{R^{2}}{D}, \quad \mu_{i}=\mu\,\frac{R^{2}}{D^{2}},
com mesma orientação ao longo do eixo real, de modo a anular a velocidade normal em \lvert z\rvert=R. No caso de um vórtice haveria também um vórtice imagem em z_{i} com circulação oposta.

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