Questão 15. Como visto em sala, o potencial complexo do escoamento causado por vórtice de intesidade \Gamma nas proximidades de um cilindro circular é dado por
F(z)=\frac{i \Gamma}{2 \pi}\left[\ln (z-a)+\ln z-\ln \left(z-\frac{R^{2}}{\bar{a}}\right)-\ln (-\bar{a})\right]
sendo a=D e^{i \gamma} a localização do vórtice e R o raio do cilindro, cujo centro é na origem.
Analise o termo \frac{i \Gamma}{2 \pi} \ln z :
(a) Como a parte imaginária desse termo varia ao longo da superfície do cilindro z=R e^{i \theta} ?
(b) Lembrando que a parte imaginária contribui para a função corrente \psi, analise se a condição de contorno na parede do cilindro continua sendo satisfeita se deliberadamente multiplicarmos esse termo por uma constate real qualquer C;
(c) Considere o caso em que C é igual a 0 e compare a circulação em torno do cilindro para esse caso com a circulação em torno do cilindro no caso anterior ( C=1 ).
Dica: Lembre que para a condição de parede ser satisfeita, deve existir uma linha de corrente coincidindo com a parede. O que isso significa do ponto de vista da função corrente?

Passo 1

O enunciado dá o potencial complexo
F(z)=\frac{i\,\Gamma}{2\pi}\bigl[\ln(z-a)+\ln z-\ln\bigl(z-\tfrac{R^2}{\bar a}\bigr)-\ln(-\bar a)\bigr]
e pede para estudar o termo
F_1(z)=\frac{i\,\Gamma}{2\pi}\ln z
ao longo da superfície do cilindro z=R\,e^{i\theta}. Vamos usar a definição de logaritmo complexo e lembrar que a parte imaginária de F é a função corrente \psi. Depois veremos o efeito de multiplicar esse termo por uma constante real C e compararemos a circulação em torno do cilindro para C=1 e C=0.

Passo 2

Calculemos \ln z quando z=R\,e^{i\theta}.
\ln\bigl(R\,e^{i\theta}\bigr)=\ln R + i\,\theta.
Logo
F_1(z) =\frac{i\,\Gamma}{2\pi}\bigl(\ln R + i\,\theta\bigr) =\frac{\Gamma}{2\pi}\bigl(i\ln R - \theta\bigr).
A parte imaginária de F_1 é o coeficiente de i, ou seja
\psi_1(\theta) =\frac{\Gamma}{2\pi}\,\ln R,
que é constante em \theta.

Passo 3

Se substituirmos F_1 por C\,F_1, teremos
\psi_{1,C}(\theta) =\Im\bigl(C\,F_1(z)\bigr) =C\,\frac{\Gamma}{2\pi}\,\ln R,
que também é constante em \theta.
Como a condição de parede impermeável exige \psi= constante sobre r=R, essa condição continua satisfeita para qualquer constante real C.

Passo 4

A circulação em torno do cilindro é dada pela soma das intensidades de vórtices excluídos/contidos pelo contorno. O termo \ln z equivale a um vórtice de intensidade \Gamma centrado na origem.
  • Para C=1: o cilindro envolve esse vórtice de intensidade \Gamma, então a circulação em torno de r=R é \Gamma.
  • Para C=0: o termo \ln z desaparece, não há mais vórtice na origem, e como o vórtice real em z=a está fora do cilindro D=|a|>R, a circulação em torno do cilindro passa a ser zero.

Resposta

(a) \psi_1(\theta)=\displaystyle\frac{\Gamma}{2\pi}\ln R (constante em \theta).
(b) Sim: para C qualquer, \psi_{1,C} é constante em \theta, então a condição de impermeabilidade continua valendo.
(c) Para C=1 a circulação em torno do cilindro é \Gamma; para C=0 a circulação é 0.

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