Questão 15. Como visto em sala, o potencial complexo do escoamento causado por vórtice de intesidade
nas proximidades de um cilindro circular é dado por
sendo
a localização do vórtice e
o raio do cilindro, cujo centro é na origem.
Analise o termo
:
(a) Como a parte imaginária desse termo varia ao longo da superfície do cilindro
?
(b) Lembrando que a parte imaginária contribui para a função corrente
, analise se a condição de contorno na parede do cilindro continua sendo satisfeita se deliberadamente multiplicarmos esse termo por uma constate real qualquer
;
(c) Considere o caso em que
é igual a 0 e compare a circulação em torno do cilindro para esse caso com a circulação em torno do cilindro no caso anterior (
).
Dica: Lembre que para a condição de parede ser satisfeita, deve existir uma linha de corrente coincidindo com a parede. O que isso significa do ponto de vista da função corrente?
Analise o termo
(a) Como a parte imaginária desse termo varia ao longo da superfície do cilindro
(b) Lembrando que a parte imaginária contribui para a função corrente
(c) Considere o caso em que
Dica: Lembre que para a condição de parede ser satisfeita, deve existir uma linha de corrente coincidindo com a parede. O que isso significa do ponto de vista da função corrente?
Passo 1
O enunciado dá o potencial complexo
e pede para estudar o termo
ao longo da superfície do cilindro
. Vamos usar a definição de logaritmo complexo e lembrar que a parte imaginária de
é a função corrente
. Depois veremos o efeito de multiplicar esse termo por uma constante real
e compararemos a circulação em torno do cilindro para
e
.
Passo 2
Calculemos
quando
.
Logo
A parte imaginária de
é o coeficiente de
, ou seja
que é constante em
.
Passo 3
Se substituirmos
por
, teremos
que também é constante em
.
Como a condição de parede impermeável exige constante sobre
, essa condição continua satisfeita para qualquer constante real
.
Como a condição de parede impermeável exige
Passo 4
A circulação em torno do cilindro é dada pela soma das intensidades de vórtices excluídos/contidos pelo contorno. O termo
equivale a um vórtice de intensidade
centrado na origem.
- Para
: o cilindro envolve esse vórtice de intensidade , então a circulação em torno de é . - Para
: o termo desaparece, não há mais vórtice na origem, e como o vórtice real em está fora do cilindro , a circulação em torno do cilindro passa a ser zero.
Resposta
(a)
(constante em
).
(b) Sim: para qualquer,
é constante em
, então a condição de impermeabilidade continua valendo.
(c) Para a circulação em torno do cilindro é
; para
a circulação é
.
(b) Sim: para
(c) Para