Questão 14: Determine as assíntotas:
f(x)=-8x^2-4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas da função racional
f(x) = -8x^2 - 4
Aqui vamos usar o conceito de assíntota vertical (pontos onde o denominador zera e a função tende a pminfty), de assíntota horizontal (limites em xtopminfty) e verificar se existe assíntota oblíqua (quando o grau do numerador é exatamente um a menos que o do denominador).

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, identificamos onde o denominador se anula:
x^2 - 4 = 0 Longrightarrow x = 2 ou x = -2
Agora examinamos o comportamento de f(x) ao aproximar-se de cada ponto:
  1. Em xto2^-: x^2-4to0^-, logo f(x) to -8/(0^-)= +infty.
  2. Em xto2^+: x^2-4to0^+, logo f(x) to -8/(0^+) = -infty.
  3. Em xto(-2)^-: x^2-4to0^+, logo f(x) to -8/(0^+) = -infty.
  4. Em xto(-2)^+: x^2-4to0^-, logo f(x) to -8/(0^-) = +infty.
Isso confirma assíntotas verticais em x=2 e x=-2.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, calculamos o limite em xtopminfty. Como o grau do denominador ( 2) é maior que o do numerador ( 0), temos
limxtopminfty f(x) = limxtopminfty l(-8x^2-4r) = 0
Logo existe a assíntota horizontal y=0.

Passo 4

Para checar assíntota oblíqua, analisamos o grau do numerador versus o do denominador. Aqui o grau do numerador é 0 e do denominador é 2, diferença maior que 1, então não há assíntota oblíqua.

Resposta

As assíntotas da função são:
x=2 (vertical),
x=-2 (vertical),
y=0 (horizontal).

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