Exercício 7. Uma função é par se f(-x)=f(x) e ímpar se f(-x)=-f(x). Cite três exemplos de função par e três de função ímpar. Em seguida, mostre que a única função que é simultaneamente par e ímpar é a função nula.

Passo 1

O enunciado define uma função f par se satisfaz
f(-x)=f(x)
e função ímpar se satisfaz
f(-x)=-f(x)
Pede três exemplos de cada tipo e, em seguida, provar que se uma função é simultaneamente par e ímpar então ela é a função nula.

Passo 2

Três exemplos de função par são
f(x)=x^2, pois
(-x)^2 = x^2;
f(x)=cos(x), pois
cos(-x)=cos(x);
e f(x)=|x|, pois
|-x|=|x|
Três exemplos de função ímpar são
g(x)=x^3, pois
(-x)^3 = -,x^3;
g(x)=sin(x), pois
sin(-x)=-sin(x);
e g(x)=x, pois
- x = -,x

Passo 3

Seja h uma função que é simultaneamente par e ímpar. Então para todo x do domínio temos
h(-x)=h(x) e h(-x)=-h(x)
Igualando as duas expressões para h(-x) resulta
h(x) = -,h(x) Longrightarrow 2,h(x)=0 Longrightarrow h(x)=0
Logo, h é identicamente zero.

Resposta

Três exemplos de função par:
,x^2,;cos(x),;|x|.
Três exemplos de função ímpar:
,x^3,;sin(x),;x.
A única função que é simultaneamente par e ímpar é a função nula f(x)=0 para todo x.

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