Questão 14. Uma empresa fabrica dois produtos P_{1} e P_{2}. Para produzir uma unidade de P_{1} são necessárias 2 horas de máquina A e 1 hora de máquina B. Para P_{2}, são necessárias 3 horas de máquina A e 2 horas de máquina B . Se a empresa dispõe de 100 horas de A e 60 horas de B , determine:
a) O sistema linear que representa o problema.
b) Resolva-o pela Regra de Cramer.

Passo 1

O problema pede para decidir quantas unidades de P_{1} e P_{2} fabricar de modo a usar totalmente as horas disponíveis das máquinas A e B. Vamos chamar de \;x = número de unidades de P_{1} \;y = número de unidades de P_{2}
As restrições vêm do consumo de horas: cada P_{1} consome 2 h de A e 1 h de B; cada P_{2} consome 3 h de A e 2 h de B. A empresa dispõe de 100 h de A e 60 h de B.

Passo 2

Montamos o sistema linear igualando o uso total ao que temos:
\begin{cases} 2x + 3y = 100,\\\ x + 2y = 60. \end{cases}

Passo 3

Aplicando a Regra de Cramer:
O determinante da matriz dos coeficientes é
\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3\\\\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2 - 3\cdot1 = 4 - 3 = 1.
Para x, trocamos a primeira coluna pelo vetor dos termos independentes:
\Delta_x = \begin{vmatrix} 100 & 3\\\\ 60 & 2 \end{vmatrix} = 100\cdot2 - 3\cdot60 = 200 - 180 = 20.
Para y, trocamos a segunda coluna:
\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 100\\\\ 1 & 60 \end{vmatrix} = 2\cdot60 - 100\cdot1 = 120 - 100 = 20.
Logo,
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{20}{1} = 20, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{20}{1} = 20.

Resposta

x = 20 e y = 20.

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