Questão 13

a) Resolva o sistema pelo método de escalonamento:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+z=4 \\\\ 2 x-y+3 z=5 \\\\ 3 x+3 y+4 z=10 \end{array}\right.
b) Verifique a solução encontrada substituindo no sistema original.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + 2y + z = 4,\\\\ 2x - y + 3z = 5,\\\\ 3x + 3y + 4z = 10. \end{cases}
O objetivo é usar o método de escalonamento (eliminação de Gauss) para encontrar (x,y,z) e depois verificar essa solução no sistema original.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x nas duas últimas equações usando múltiplos da primeira:
\text{Eq}_2' = \text{Eq}_2 - 2\cdot\text{Eq}_1 \;\Rightarrow\; -5y + z = -3,
\text{Eq}_3' = \text{Eq}_3 - 3\cdot\text{Eq}_1 \;\Rightarrow\; -3y + z = -2.
O sistema escalonado fica
\begin{cases} x + 2y + z = 4,\\\\ -5y + z = -3,\\\\ -3y + z = -2. \end{cases}

Passo 3

Eliminamos agora z entre as duas últimas equações: subtraímos \text{Eq}_2' de \text{Eq}_3':
(-3y+z) - (-5y+z) = -2 - (-3) \;\Rightarrow\; 2y = 1 \;\Rightarrow\; y = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Com y = \tfrac{1}{2}, voltamos em \text{Eq}_2' para achar z:
-5\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) + z = -3 \;\Rightarrow\; - \tfrac{5}{2} + z = -3 \;\Rightarrow\; z = -3 + \tfrac{5}{2} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Finalmente, substituímos y e z na primeira equação para x:
x + 2\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) + \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 4 \;\Rightarrow\; x + 1 - \tfrac{1}{2} = 4 \;\Rightarrow\; x + \tfrac{1}{2} = 4 \;\Rightarrow\; x = \tfrac{7}{2}.

Passo 6

Verificação: para \bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr),
\text{Eq}_1:\;\tfrac{7}{2} + 2\cdot\tfrac{1}{2} + \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{7}{2} +1 - \tfrac{1}{2} = 4,
\text{Eq}_2:\;2\cdot\tfrac{7}{2} - \tfrac{1}{2} + 3\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 7 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = 5,
\text{Eq}_3:\;3\cdot\tfrac{7}{2} + 3\cdot\tfrac{1}{2} + 4\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{21}{2} + \tfrac{3}{2} -2 = 10.
Está tudo consistente com os termos independentes.

Resposta

(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{7}{2},\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2}\Bigr).

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