Questão 14. Uma mangueira de 10 cm de diâmetro, mantida a uma pressão de 1600 kPA , fornece água de um tanque para apagar um incêndio. Um bocal na ponta da mangueira reduz o diâmetro para
. Calcule a forca que a água exerce sobre o bocal. As perdas podem ser ignoradas em um bocal curto.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a força que a água exerce sobre o bocal.”
Informações dadas (vou listar tudo bem certinho):
Informações dadas (vou listar tudo bem certinho):
- Diâmetro da mangueira antes do bocal:
. - Pressão na mangueira (próximo ao bocal):
. - Diâmetro do bocal (saída):
. - As perdas podem ser ignoradas em um bocal curto.
- Queremos a força que a água exerce sobre o bocal (magnitude e direção).
Observações implícitas que vou usar sem te perguntar: a pressão dada é a pressão disponível na mangueira que age no escoamento (usarei essa diferença de pressão para acelerar o jato). A água tem densidade aproximada
. A saída do bocal está à pressão atmosférica (referência).
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda, só explico o que vou usar):
- Primeiro uso a continuidade para relacionar as velocidades na seção grande (mangueira) e na seção pequena (bocal).
- Depois uso a equação de Bernoulli (sem perdas) entre um ponto interno da mangueira e a saída do bocal para obter a velocidade do jato.
- Em seguida calculo a vazão mássica
. - Finalmente aplico o balanço de quantidade de movimento (momento linear) para um volume de controle que inclui o trecho do bocal, para obter a força que a água exerce sobre o bocal. Vou explicar cada fórmula e o significado de cada termo enquanto aplico.
Passo 3
Converto dados e calculo áreas (muito importante para continuidade):
-
(mangueira antes do bocal). O raio é . -
(bocal). O raio é . - Área da seção 1:
- Área da seção 2:
- Relação de áreas:
Passo 4
Continuidades de massa e Bernoulli — obtenção das velocidades:
- Continuidade (escoamento incompressível):
Isso significa que a vazão volumétrica é a mesma nas duas seções; aqui é a velocidade na mangueira e é a velocidade do jato na saída. - Logo:
- Bernoulli (sem perdas, entre um ponto na seção 1 e a saída 2 ao nível igual):
Aqui:
-
é a pressão interna na mangueira dada ( — usarei a diferença de pressão em relação à atmosfera), -
é a pressão na saída (pressão atmosférica). Se tomarmos a pressão atmosférica como referência zero (pressão gauge), então e . - Substituindo
em Bernoulli e isolando :
- Portanto
- Substituo valores (
, , ):
- Calculando:
- Então
Passo 5
Cálculo da vazão mássica
:
- Vazão volumétrica na saída:
. - Cálculo:
- Vazão mássica:
Passo 6
Balanço de quantidade de movimento (fórmula e significado):
- Vou aplicar o balanço de momentum linear unidimensional em regime estacionário para um volume de controle que tem como superfícies de entrada a seção 1 (interna, área
), saída a seção 2 (área ) e as paredes do bocal. - A equação integral simplificada (em prosa): soma das forças externas na direção do escoamento = taxa de saída de momento menos taxa de entrada de momento.
- As forças externas na direção do escoamento que atuam sobre o fluido são:
- a força devida à pressão na seção 1:
(empurra o fluido no sentido do escoamento), - a força devida à pressão na saída (se
atuando para o sentido oposto): , - a força que as paredes exercem sobre o fluido:
(essa é a força do bocal sobre o fluido; a força da água sobre o bocal é o contrário, isto é ).
- a força devida à pressão na seção 1:
- A taxa de variação de momento (saída menos entrada) é
. - Assim a equação fica:
- Isolando
(força do bocal sobre o fluido):
- A força que queremos é a força que a água exerce sobre o bocal; por ação e reação:
- Neste problema tomamos
(saída) como pressão atmosférica de referência (gauge zero), logo (se usarmos como gauge). Substituirei os valores numéricos a seguir.
Passo 7
Substituição numérica e cálculo final:
- Já temos:
-
, -
, -
, -
, -
, -
.
-
- Primeiro o termo de momento:
(Arredondei as casas intermediárias; mantenho três algarismos significativos.)
- Termo de pressão:
- Como
, a força da água sobre o bocal é
- Interpretação de sinal/direção: o resultado positivo significa que a água exerce sobre o bocal uma força no sentido do escoamento (isto é, empurra o bocal para frente, no sentido do jato, em direção ao incêndio). Essa direção provém do fato de que a pressão interna sobre a área maior
é dominante sobre a variação de momento. (Se quisermos a reação sobre quem segura o bocal, a pessoa precisa resistir a essa força dirigindo-a para trás.)