Questão 14. Uma mangueira de 10 cm de diâmetro, mantida a uma pressão de 1600 kPA , fornece água de um tanque para apagar um incêndio. Um bocal na ponta da mangueira reduz o diâmetro para 2,5 \mathrm{~cm}. Calcule a forca que a água exerce sobre o bocal. As perdas podem ser ignoradas em um bocal curto.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a força que a água exerce sobre o bocal.”
Informações dadas (vou listar tudo bem certinho):
  • Diâmetro da mangueira antes do bocal: 10\\ \mathrm{cm}.
  • Pressão na mangueira (próximo ao bocal): 1600\\ \mathrm{kPa}.
  • Diâmetro do bocal (saída): 2{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • As perdas podem ser ignoradas em um bocal curto.
  • Queremos a força que a água exerce sobre o bocal (magnitude e direção).
Observações implícitas que vou usar sem te perguntar: a pressão dada é a pressão disponível na mangueira que age no escoamento (usarei essa diferença de pressão para acelerar o jato). A água tem densidade aproximada \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}. A saída do bocal está à pressão atmosférica (referência).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda, só explico o que vou usar):
  • Primeiro uso a continuidade para relacionar as velocidades na seção grande (mangueira) e na seção pequena (bocal).
  • Depois uso a equação de Bernoulli (sem perdas) entre um ponto interno da mangueira e a saída do bocal para obter a velocidade do jato.
  • Em seguida calculo a vazão mássica \dot{m}.
  • Finalmente aplico o balanço de quantidade de movimento (momento linear) para um volume de controle que inclui o trecho do bocal, para obter a força que a água exerce sobre o bocal. Vou explicar cada fórmula e o significado de cada termo enquanto aplico.

Passo 3

Converto dados e calculo áreas (muito importante para continuidade):
  • D_1 = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m} (mangueira antes do bocal). O raio é r_1=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • D_2 = 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}025\\ \mathrm{m} (bocal). O raio é r_2=0{,}0125\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção 1:
A_1 = \pi r_1^2 = \pi (0{,}05)^2 = 0{,}0078539816\\ \mathrm{m^2}.
  • Área da seção 2:
A_2 = \pi r_2^2 = \pi (0{,}0125)^2 = 0{,}00049087385\\ \mathrm{m^2}.
  • Relação de áreas:
\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 = \left(\frac{0{,}025}{0{,}10}\right)^2 = \frac{1}{16} = 0{,}0625.

Passo 4

Continuidades de massa e Bernoulli — obtenção das velocidades:
  • Continuidade (escoamento incompressível): \;A_1 v_1 = A_2 v_2. Isso significa que a vazão volumétrica é a mesma nas duas seções; aqui v_1 é a velocidade na mangueira e v_2 é a velocidade do jato na saída.
  • Logo:
v_1 = \frac{A_2}{A_1}\,v_2 = 0{,}0625\,v_2.
  • Bernoulli (sem perdas, entre um ponto na seção 1 e a saída 2 ao nível igual):
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Aqui:
  • p_1 é a pressão interna na mangueira dada ( 1600\\ \mathrm{kPa} — usarei a diferença de pressão em relação à atmosfera),
  • p_2 é a pressão na saída (pressão atmosférica). Se tomarmos a pressão atmosférica como referência zero (pressão gauge), então p_2=0 e p_1=1600\\ \mathrm{kPa}=1{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Substituindo v_1 = 0{,}0625\,v_2 em Bernoulli e isolando v_2:
p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\big(v_2^2 - v_1^2\big) = \tfrac{1}{2}\rho v_2^2\left(1 - \Big(\frac{A_2}{A_1}\Big)^2\right).
  • Portanto
v_2^2 = \frac{2(p_1-p_2)}{\rho\left(1 - \left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)^2\right)}.
  • Substituo valores ( \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, p_1-p_2=1{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, (A_2/A_1)^2=(0{,}0625)^2=0{,}00390625):
v_2^2 = \frac{2\cdot 1{,}6\times10^{6}}{1000\cdot(1-0{,}00390625)} = \frac{3{,}2\times10^{6}}{1000\cdot 0{,}99609375}.
  • Calculando:
v_2 \approx 56{,}68\\ \mathrm{m/s}.
  • Então
v_1 = 0{,}0625\,v_2 \approx 3{,}543\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo da vazão mássica \dot{m}:
  • Vazão volumétrica na saída: Q = A_2 v_2.
  • Cálculo:
Q = 0{,}00049087385\\ \mathrm{m^2}\times 56{,}68\\ \mathrm{m/s} \approx 0{,}02782\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão mássica:
\dot{m} = \rho Q = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 0{,}02782\\ \mathrm{m^3/s} \approx 27{,}82\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Balanço de quantidade de movimento (fórmula e significado):
  • Vou aplicar o balanço de momentum linear unidimensional em regime estacionário para um volume de controle que tem como superfícies de entrada a seção 1 (interna, área A_1), saída a seção 2 (área A_2) e as paredes do bocal.
  • A equação integral simplificada (em prosa): soma das forças externas na direção do escoamento = taxa de saída de momento menos taxa de entrada de momento.
  • As forças externas na direção do escoamento que atuam sobre o fluido são:
    • a força devida à pressão na seção 1: +p_1 A_1 (empurra o fluido no sentido do escoamento),
    • a força devida à pressão na saída (se p_2 atuando para o sentido oposto): -p_2 A_2,
    • a força que as paredes exercem sobre o fluido: F_w (essa é a força do bocal sobre o fluido; a força da água sobre o bocal é o contrário, isto é -F_w).
  • A taxa de variação de momento (saída menos entrada) é \dot{m}v_2 - \dot{m}v_1 = \dot{m}(v_2 - v_1).
  • Assim a equação fica:
p_1 A_1 - p_2 A_2 + F_w \;=\; \dot{m}(v_2 - v_1).
  • Isolando F_w (força do bocal sobre o fluido):
F_w = \dot{m}(v_2 - v_1) - p_1 A_1 + p_2 A_2.
  • A força que queremos é a força que a água exerce sobre o bocal; por ação e reação:
F_{\text{água sobre bocal}} = -F_w = -\dot{m}(v_2 - v_1) + p_1 A_1 - p_2 A_2.á
  • Neste problema tomamos p_2 (saída) como pressão atmosférica de referência (gauge zero), logo p_2=0 (se usarmos p_1 como 1600\\ \mathrm{kPa} gauge). Substituirei os valores numéricos a seguir.

Passo 7

Substituição numérica e cálculo final:
  • Já temos:
    • \dot{m}\approx 27{,}82\\ \mathrm{kg/s},
    • v_2\approx 56{,}68\\ \mathrm{m/s},
    • v_1\approx 3{,}543\\ \mathrm{m/s},
    • A_1\approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m^2},
    • p_1 = 1{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
    • p_2 = 0.
  • Primeiro o termo de momento:
\dot{m}(v_2-v_1) \approx 27{,}82\times(56{,}68-3{,}543)\approx 1{,}478{,}0\\ \mathrm{N}.
(Arredondei as casas intermediárias; mantenho três algarismos significativos.)
  • Termo de pressão:
p_1 A_1 = 1{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}00785398\\ \mathrm{m^2} \approx 12{,}566{,}4\\ \mathrm{N}.
  • Como p_2 A_2 = 0, a força da água sobre o bocal é
F_{\text{água sobre bocal}} = -1{,}478{,}0 + 12{,}566{,}4 \approx 11{,}088{,}4\\ \mathrm{N}.á
  • Interpretação de sinal/direção: o resultado positivo significa que a água exerce sobre o bocal uma força no sentido do escoamento (isto é, empurra o bocal para frente, no sentido do jato, em direção ao incêndio). Essa direção provém do fato de que a pressão interna sobre a área maior A_1 é dominante sobre a variação de momento. (Se quisermos a reação sobre quem segura o bocal, a pessoa precisa resistir a essa força dirigindo-a para trás.)

Resposta

1,11\times10^{4}\\ \mathrm{N} (direção: sentido do jato, isto é, para a frente em direção ao incêndio)

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