(Valor 2.5 pts ) Em um trocador de calor de duas tubulaçōes concêntricas, a água escoa ao longo do anel tubular, e uma solução de anilina e álcool escoa ao longo da tubulação central. A tubulação interna tem 0.527 pol de diāmetro interno e 0.625 pol de diâmetro externo. O ditimetro interno đa tubulaçāo externa é de 0.750 pol. Para uma temperatura de mistura da água de 27 C e da soluçāo de 60 C , determine o coeficiente de transferência de calor global com base no diametro externo da tubulação central. A vazão de água é de 37.85 1/min e a da solução de 3.785 \mathrm{l} / \mathrm{min}.
Propriedades da solução :
Temperatura
[\mathrm{C}]
Viscosidade
\times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \mathrm{s}
Condutividade
Térmica [\mathrm{W} / \mathrm{m} \mathrm{C}]
Gravidade
especifica
Calor
especifico
[\mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \mathrm{C}]
20 5.1 0.1731 1.03 2.093
60 1.4 0.1696 0.98 2.219
100 0.6 0.1644 0.97 2.345

Passo 1

O enunciado pede: “determine o coeficiente de transferência de calor global com base no diâmetro externo da tubulação central”.
Informações e dados relevantes extraídos do enunciado (todos os números estão aqui para eu usar depois):
\begin{aligned} &\text{Diâmetros (polegadas):}\\\ &D_{i,\text{int}}=0{,}527\\ \text{in},\quad D_{o,\text{int}}=0{,}625\\ \text{in},\quad D_{i,\text{externa}}=0{,}750\\ \text{in}.\\[4pt] &\text{Temperaturas (bulk): }T_{\text{água}}=27^\circ\text{C},\quad T_{\text{solução}}=60^\circ\text{C}.\\[4pt] &\text{Vazões: }Q_{\text{água}}=37{,}85\\ \text{L/min},\quad Q_{\text{solução}}=3{,}785\\ \text{L/min}.\\[4pt] &\text{Propriedades da solução (usar em }60^\circ\text{C}):\\\ &\qquad \mu_{\text{sol}}=1{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\;s)},\quad k_{\text{sol}}=0{,}1696\\ \mathrm{W/(m\;K)},\\\ &\qquad \rho_{\text{sol}}=0{,}98\times1000=980\\ \mathrm{kg/m^3},\quad c_{p,\text{sol}}=2{,}219\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}=2219\\ \mathrm{J/(kg\;K)}. \end{aligned}âáçãõáçãçã
Observações úteis que decorrem do enunciado (vou usar estas para definir o problema): quero U com base no diâmetro externo da tubulação central, ou seja com base em D_o da tubulação interna (o diâmetro externo da tubulação central é D_{o,\text{int}}=0{,}625 in).
(Próximo passo: converter unidades, calcular áreas, velocidades, números adimensionais, coeficientes convectivos e, por fim, U.)]

Passo 2

Converter diâmetros e vazões para unidades SI (m e m^3/s) e calcular áreas geométricas que usarei nas velocidades. Usei 1\\ \text{in}=0{,}0254\\ \text{m}.
\begin{aligned} &D_{i}=\;0{,}527\\ \text{in}\times0{,}0254=\;0{,}0133858\\ \mathrm{m},\\[4pt] &D_{o}=\;0{,}625\\ \text{in}\times0{,}0254=\;0{,}0158750\\ \mathrm{m}\quad(\text{diâmetro externo da tubulação central}),\\[4pt] &D_{s}=\;0{,}750\\ \text{in}\times0{,}0254=\;0{,}01905\\ \mathrm{m}\quad(\text{diâmetro interno da tubulação externa}). \end{aligned}âçãâçã
Vazões para \mathrm{m^3/s}:
\begin{aligned} &Q_{\text{água}}=37{,}85\\ \mathrm{L/min}=37{,}85\times10^{-3}/60=0{,}0006308333\\ \mathrm{m^3/s},\\[4pt] &Q_{\text{sol}}=3{,}785\\ \mathrm{L/min}=3{,}785\times10^{-3}/60=0{,}00006308333\\ \mathrm{m^3/s}. \end{aligned}á
Áreas transversais (por metro de comprimento uso áreas reais):
\begin{aligned} &A_{\text{int}}=\frac{\pi D_{i}^2}{4}=\frac{\pi (0{,}0133858)^2}{4}=1{,}40686\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},\\[4pt] &A_{\text{anel}}=\frac{\pi}{4}\bigl(D_{s}^2-D_{o}^2\bigr) =\frac{\pi}{4}\bigl(0{,}01905^2-0{,}015875^2\bigr)=8{,}7060\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}
Velocidades médias:
\begin{aligned} &v_{\text{sol}}=\frac{Q_{\text{sol}}}{A_{\text{int}}}=\frac{6{,}3083\times10^{-5}}{1{,}40686\times10^{-4}}=0{,}4485\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &v_{\text{água}}=\frac{Q_{\text{água}}}{A_{\text{anel}}}=\frac{6{,}30833\times10^{-4}}{8{,}7060\times10^{-5}}=7{,}2444\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}áá
Hidráulica do anel (diâmetro hidráulico do anel):
D_{h,\text{anel}}=D_{s}-D_{o}=0{,}01905-0{,}015875=0{,}003175\\ \mathrm{m}.]

Passo 3

Escolher propriedades da água (não fornecidas no enunciado). Vou usar valores típicos à 27^\circ\mathrm{C} (valores padrão):
\rho_{\text{água}}=996\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \mu_{\text{água}}=8{,}55\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\;s},\quad k_{\text{água}}=0{,}613\\ \mathrm{W/(m\;K)},\quad c_{p,\text{água}}=4182\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.áááá
(Explanação curta: preciso dessas propriedades para calcular Re e Pr. É comum usar propriedades no bulk temperature; aqui usei T_{\text{água}}=27^\circ\mathrm{C}á e T_{\text{sol}}=60^\circ\mathrm{C} conforme dados.)
Calcular números adimensionais agora (Reynolds e Prandtl) para cada fluxo.
Para a solução (escoamento dentro do tubo interno; usar D=D_i):
\begin{aligned} &\mathrm{Re}_{\text{sol}}=\frac{\rho_{\text{sol}}\,D_i\,v_{\text{sol}}}{\mu_{\text{sol}}} =\frac{980\times0{,}0133858\times0{,}4485}{1{,}4\times10^{-3}}=4{,}201\times10^{3}. \end{aligned}
Prandtl da solução:
\mathrm{Pr}_{\text{sol}}=\frac{c_{p,\text{sol}}\,\mu_{\text{sol}}}{k_{\text{sol}}} =\frac{2219\times1{,}4\times10^{-3}}{0{,}1696}=18{,}32.
Para a água no anel (usar D_h=D_{h,\text{anel}} como dimensão representativa):
\begin{aligned} &\mathrm{Re}_{\text{água}}=\frac{\rho_{\text{água}}\,D_h\,v_{\text{água}}}{\mu_{\text{água}}} =\frac{996\times0{,}003175\times7{,}2444}{8{,}55\times10^{-4}}=2{,}6807\times10^{4}, \end{aligned}áááá
\mathrm{Pr}_{\text{água}}=\frac{c_{p,\text{água}}\,\mu_{\text{água}}}{k_{\text{água}}} =\frac{4182\times8{,}55\times10^{-4}}{0{,}613}=5{,}83.áááá
Interpretação do regime de escoamento:
\mathrm{Re}_{\text{sol}}\approx4{,}2\times10^{3}\\ (\text{próximo à transição; ligeiramente turbulento}),\qquad \mathrm{Re}_{\text{água}}\approx2{,}68\times10^{4}\\ (\text{turbulento}).óàçãá

Passo 4

Escolher correlações para calcular o coeficiente convectivo local (h) em cada lado. Vou usar a correlação de Dittus–Boelter (válida para escoamentos turbulentos em tubos lisos):
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},
onde n=0{,}4 se o fluido está sendo aquecido, n=0{,}3 se o fluido está sendo resfriado. Explico: \mathrm{Nu} (Nusselt) relaciona transferência convectiva com condução; sabendo \mathrm{Nu} obtemos h=\mathrm{Nu}\,k/D. A correlação se aplica razoavelmente bem para nossos \mathrm{Re} (turbulento) e tubos/anel relativamente lisos.
Decisão sobre n:
  • A solução (dentro do tubo) tem temperatura inicial mais alta ( 60^\circC) e perde calor para a água: ela está sendo RESFRIADA → usar n=0{,}3.
  • A água (anel) recebe calor → está sendo AQUECIDA → usar n=0{,}4.
Calcular \mathrm{Nu} e h passo a passo.
Para a solução (tubo interno):
\begin{aligned} &\mathrm{Nu}_{\text{sol}}=0{,}023\;\mathrm{Re}_{\text{sol}}^{0{,}8}\;\mathrm{Pr}_{\text{sol}}^{0{,}3} =0{,}023\times(4{,}201\times10^{3})^{0{,}8}\times(18{,}32)^{0{,}3}=43{,}43. \end{aligned}
h_{\text{sol}}=\frac{\mathrm{Nu}_{\text{sol}}\,k_{\text{sol}}}{D_i} =43{,}43\times\frac{0{,}1696}{0{,}0133858}=550{,}6\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Para a água no anel:
\begin{aligned} &\mathrm{Nu}_{\text{água}}=0{,}023\;\mathrm{Re}_{\text{água}}^{0{,}8}\;\mathrm{Pr}_{\text{água}}^{0{,}4} =0{,}023\times(2{,}6807\times10^{4})^{0{,}8}\times(5{,}83)^{0{,}4}=162{,}67. \end{aligned}ááá
h_{\text{água}}=\frac{\mathrm{Nu}_{\text{água}}\,k_{\text{água}}}{D_{h,\text{anel}}} =162{,}67\times\frac{0{,}613}{0{,}003175}=31{,}399\\ \mathrm{W/(m^2K)}.ááá
Pequena interpretação física: o h do anel ficou muito grande numericamente por causa do pequeno diâmetro hidráulico do anel (repare que h\sim k/D_h e D_h é muito pequeno), mas quando convertimos para a base de área que o enunciado pediu (área externa do tubo interno), a contribuição relativa do lado do anel será pequena comparada com a resistência convectiva interna (ver próximo passo).

Passo 5

Montar a resistência térmica total por unidade de comprimento e obter U com base na área externa do tubo interno A_{o}=\pi D_{o} (por metro de comprimento a área é \pi D_o). Vou derivar a expressão usada: somando resistências por unidade de comprimento,
R'_{\text{total}}=\underbrace{\frac{1}{h_{\text{água}}\pi D_o}}_{R'_{\text{conv,externa}}} +\underbrace{\frac{\ln\!\bigl(\dfrac{D_o}{D_i}\bigr)}{2\pi k_{\text{metal}}}}_{R'_{\text{cond}}} +\underbrace{\frac{1}{h_{\text{sol}}\pi D_i}}_{R'_{\text{conv,interna}}},á
onde o apóstrofo (prime) indica “por unidade de comprimento”. O coeficiente global baseado em D_o é dado por
U_o=\frac{1}{R'_{\text{total}}\;\pi D_o} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{U_o}= \frac{1}{h_{\text{água}}} + \frac{D_o}{2k_{\text{metal}}}\ln\!\Bigl(\frac{D_o}{D_i}\Bigr) + \frac{D_o}{h_{\text{sol}}D_i}.á
(Expliquei a origem de cada termo: primeiro é a resistência convectiva no lado externo por área externa, segundo a resistência de condução na parede cilíndrica convertida para a mesma base, terceiro a resistência convectiva interna convertida para base externa.)
Agora precisamos do valor de k_{\text{metal}} (condutividade térmica do tubo). O enunciado não deu o material da tubulação; isso é comum. Vou assumir que a tubulação é de cobre (material frequentemente usado em trocadores de pequeno porte), com
k_{\text{cobre}}\approx 385\\ \mathrm{W/(m\;K)}.
(Se o tubo fosse de aço com k\approx 16\\ \mathrm{W/(mK)}, a resistência de condução seria maior, mas o efeito na resposta final será pequeno porque a resistência dominante é a convecção interna. Eu apresento a solução com cobre; se quiser posso recalcular para outro metal.)
Calcular os termos numéricos usando k_{\text{metal}}=385\\ \mathrm{W/(mK)}, D_o=0{,}015875\\ \mathrm{m}, D_i=0{,}0133858\\ \mathrm{m}.
Termos:
\begin{aligned} &\frac{1}{h_{\text{água}}}=\frac{1}{31{,}399}=3{,}184\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2K/W},\\[6pt] &\frac{D_o}{2k_{\text{metal}}}\ln\!\Bigl(\frac{D_o}{D_i}\Bigr) =\frac{0{,}015875}{2\times385}\ln\!\Bigl(\frac{0{,}015875}{0{,}0133858}\Bigr). \end{aligned}á
Calcule o logaritmo:
\ln\!\Bigl(\frac{0{,}015875}{0{,}0133858}\Bigr)=\ln(1{,}1866)=0{,}17112.
Então o termo de condução:
\frac{D_o}{2k}\ln\!\Bigl(\frac{D_o}{D_i}\Bigr) =\frac{0{,}015875}{770}\times0{,}17112=3{,}529\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2K/W}.
Agora o termo da convecção interna convertido para base externa:
\frac{D_o}{h_{\text{sol}}D_i}=\frac{0{,}015875}{550{,}6\times0{,}0133858}=2{,}153\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2K/W}.
Somando:
\frac{1}{U_o}=3{,}184\times10^{-5}+3{,}529\times10^{-6}+2{,}153\times10^{-3}=2{,}1866\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2K/W}.
Finalmente:
U_o=\frac{1}{2{,}1866\times10^{-3}}=457{,}2\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Interpretação curta: a resistência dominante é a convecção interna (termo D_o/(h_i D_i)), por isso o U ficou da ordem de algumas centenas de \mathrm{W/(m^2K)}. A resistência do metal (cobre) é desprezível aqui; mesmo que eu trocasse por aço ( k\approx16\\ \mathrm{W/(mK)}) o U cairia um pouco, mas permaneceria da mesma ordem (cerca de 4{,}4\times10^2\\ \mathrm{W/(m^2K)}).]

Resposta

U_{\,\text{(base }D_o\text{)}}=4{,}57\times10^{2}\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}

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