Questão 15. A expressão
é equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
é equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para determinar a qual das alternativas abaixo ela é equivalente:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
As informações relevantes são a própria expressão no numerador (diferença de quadrados de duas quantidades) e o denominador . A tarefa é simplificar a expressão e comparar com as alternativas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
As informações relevantes são a própria expressão no numerador (diferença de quadrados de duas quantidades) e o denominador
Passo 2
Vamos usar a identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados. A fórmula é
Explicando por que isso vale: multiplicando o lado direito obtemos
pois os termos
se anulam. Essa identidade é muito útil para fatorar numeradores como o do nosso problema.
Passo 3
No nosso numerador identifique as duas quantidades quadradas como
Aplicando a identidade da diferença de quadrados, o numerador vira
Passo 4
Calculemos
:
Agrupando termos semelhantes, os
se cancelam e os
também, sobrando
Passo 5
Agora calculemos
:
Ao desenvolver, o
se cancela e obtemos dois vezes
e dois vezes
, isto é
Passo 6
Substituindo
e
na fatoração do numerador, temos
Portanto o numerador original é igual a
.
Passo 7
Agora dividimos pelo denominador
:
Assumindo (como a questão pressupõe) que
para que a expressão esteja bem definida, podemos cancelar o fator comum
e obter
Passo 8
Concluímos que a expressão dada é equivalente a
, que é a alternativa (a).
Resposta
(a)