Questão 15. A expressão
\frac{\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)^{2}-\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right)^{2}}{y^{3}+z^{3}}
é equivalente a:
a) 4 x^{3}
b) 4 y x^{3}
c) 4 z x^{3}
d) 4 y z x^{3}
e) 4 x y z

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)^{2}-\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right)^{2}}{y^{3}+z^{3}}
e pede para determinar a qual das alternativas abaixo ela é equivalente:
(a) 4 x^{3}
(b) 4 y x^{3}
(c) 4 z x^{3}
(d) 4 y z x^{3}
(e) 4 x y z
As informações relevantes são a própria expressão no numerador (diferença de quadrados de duas quantidades) e o denominador y^{3}+z^{3}. A tarefa é simplificar a expressão e comparar com as alternativas.

Passo 2

Vamos usar a identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados. A fórmula é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicando por que isso vale: multiplicando o lado direito obtemos
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
pois os termos ab se anulam. Essa identidade é muito útil para fatorar numeradores como o do nosso problema.

Passo 3

No nosso numerador identifique as duas quantidades quadradas como
a = x^{3}+y^{3}+z^{3}\quad\text{e}\quad b = x^{3}-y^{3}-z^{3}.
Aplicando a identidade da diferença de quadrados, o numerador vira
(a-b)(a+b).

Passo 4

Calculemos a+b:
a+b=(x^{3}+y^{3}+z^{3})+(x^{3}-y^{3}-z^{3}).
Agrupando termos semelhantes, os y^{3} se cancelam e os z^{3} também, sobrando
a+b=2x^{3}.

Passo 5

Agora calculemos a-b:
a-b=(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{3}-y^{3}-z^{3}).
Ao desenvolver, o x^{3} se cancela e obtemos dois vezes y^{3} e dois vezes z^{3}, isto é
a-b=2y^{3}+2z^{3}=2(y^{3}+z^{3}).

Passo 6

Substituindo a+b e a-b na fatoração do numerador, temos
(a-b)(a+b)=\big(2(y^{3}+z^{3})\big)\big(2x^{3}\big)=4x^{3}(y^{3}+z^{3}).
Portanto o numerador original é igual a 4x^{3}(y^{3}+z^{3}).

Passo 7

Agora dividimos pelo denominador y^{3}+z^{3}:
\frac{4x^{3}(y^{3}+z^{3})}{y^{3}+z^{3}}.
Assumindo (como a questão pressupõe) que y^{3}+z^{3}\neq 0 para que a expressão esteja bem definida, podemos cancelar o fator comum y^{3}+z^{3} e obter
4x^{3}.

Passo 8

Concluímos que a expressão dada é equivalente a 4x^{3}, que é a alternativa (a).

Resposta

(a) 4 x^{3}

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