Questão 14. Marque
se verdadeiro e
se falso. Justifique cada alternativa marcada por você.
Se
diverge
converge.
Se
Passo 1
O enunciado pede que eu marque
(verdadeiro) ou
(falso) para a afirmação seguinte e que eu justifique a marcação:
Informações relevantes recebidas:
- Temos a série
, que é dada como divergente. - Quer-se uma conclusão sobre a série
.
Observação importante: para quefaça sentido, assumimos implicitamente que para todo . Vou justificar a resposta com exemplos e explicações didáticas.
Passo 2
Lembra das definições básicas (vai ajudar a entender os exemplos):
- Uma série
converge se as somas parciais tendem a um número finito quando . Caso contrário, dizemos que a série diverge. - Teste necessário: se
converge, então o termo geral deve tender a zero, ou seja, . Se , então a série diverge (teste da term geral). - Série
-série: converge se, e somente se, ; diverge se . Isso é um resultado padrão (pode ser justificado pelo teste da integral, se precisar).
Com isso em mente, vou mostrar por contraexemplos que a implicação proposta é falsa.
Passo 3
Contraexemplo 1 (mostra que a implicação é falsa porque a segunda série também pode divergir):
Escolho
- A série
é a série harmônica, que diverge (pela propriedade da -série com ou pelo teste da integral). - Para os recíprocos temos
então
e essa última série diverge claramente (os termos não tendem a zero; de fato
). Portanto aqui temos uma situação em que
diverge e
também diverge. Isso já basta para mostrar que a afirmação “se
diverge então
converge” não é verdadeira em geral.
Passo 4
Contraexemplo 2 (mostra que a segunda pode até convergir, então não há implicação única):
Escolho
- Os termos
não tendem a zero (pelo contrário, tendem a infinito), então a série diverge (teste da term geral: se os termos não vão a zero, a série diverge). - Para os recíprocos temos
e a série
é uma
-série com
, portanto converge. Aqui
diverge, mas
converge.
Passo 5
Interpretação e intuição final (por que a implicação falha):
- A divergência de
só diz que as somas parciais não tendem a um valor finito; isso não controla de forma suficiente o tamanho de cada . Os podem ser pequenos (como ) ou grandes (como ), e o comportamento da série dos recíprocos depende fortemente desse tamanho. - Portanto não existe uma regra geral que transforme “diverge” em “o recíproco converge”. Como mostrei, ambos os comportamentos são possíveis dependendo da escolha de
.
Passo 6
Conclusão objetiva com justificativa curta:
- A afirmação é falsa. Dei dois contraexemplos explícitos:
-
: diverge e diverge. -
: diverge e converge.
Esses exemplos mostram que não existe a implicação proposital no enunciado.
-
Resposta
F