Questão 14. Marque V se verdadeiro e F se falso. Justifique cada alternativa marcada por você.
Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} converge.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque V (verdadeiro) ou F (falso) para a afirmação seguinte e que eu justifique a marcação:
\text{Se }\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\text{ diverge }\Rightarrow\\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}\text{ converge.}
Informações relevantes recebidas:
  • Temos a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, que é dada como divergente.
  • Quer-se uma conclusão sobre a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}.
    Observação importante: para que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} faça sentido, assumimos implicitamente que a_{n}\neq 0 para todo n. Vou justificar a resposta com exemplos e explicações didáticas.

Passo 2

Lembra das definições básicas (vai ajudar a entender os exemplos):
  • Uma série \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge se as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N} b_{n} tendem a um número finito quando N\to\infty. Caso contrário, dizemos que a série diverge.
  • Teste necessário: se \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge, então o termo geral b_{n} deve tender a zero, ou seja, \lim_{n\to\infty} b_{n}=0. Se \lim_{n\to\infty} b_{n}\neq 0, então a série diverge (teste da term geral).
  • Série p-série: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1. Isso é um resultado padrão (pode ser justificado pelo teste da integral, se precisar).
Com isso em mente, vou mostrar por contraexemplos que a implicação proposta é falsa.

Passo 3

Contraexemplo 1 (mostra que a implicação é falsa porque a segunda série também pode divergir):
Escolho
a_{n}=\frac{1}{n}.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge (pela propriedade da p-série com p=1 ou pelo teste da integral).
  • Para os recíprocos temos
\frac{1}{a_{n}}=n,
então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n,
e essa última série diverge claramente (os termos não tendem a zero; de fato n\to\infty). Portanto aqui temos uma situação em que \sum a_{n} diverge e \sum \frac{1}{a_{n}} também diverge. Isso já basta para mostrar que a afirmação “se \sum a_n diverge então \sum 1/a_n converge” não é verdadeira em geral.

Passo 4

Contraexemplo 2 (mostra que a segunda pode até convergir, então não há implicação única):
Escolho
a_{n}=n^{2}.
  • Os termos a_{n}=n^{2} não tendem a zero (pelo contrário, tendem a infinito), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} diverge (teste da term geral: se os termos não vão a zero, a série diverge).
  • Para os recíprocos temos
\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{n^{2}},
e a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma p-série com p=2>1, portanto converge. Aqui \sum a_{n} diverge, mas \sum \frac{1}{a_{n}} converge.

Passo 5

Interpretação e intuição final (por que a implicação falha):
  • A divergência de \sum a_{n} só diz que as somas parciais não tendem a um valor finito; isso não controla de forma suficiente o tamanho de cada a_{n}. Os a_{n} podem ser pequenos (como a_{n}=1/n) ou grandes (como a_{n}=n^{2}), e o comportamento da série dos recíprocos depende fortemente desse tamanho.
  • Portanto não existe uma regra geral que transforme “diverge” em “o recíproco converge”. Como mostrei, ambos os comportamentos são possíveis dependendo da escolha de (a_{n}).

Passo 6

Conclusão objetiva com justificativa curta:
  • A afirmação é falsa. Dei dois contraexemplos explícitos:
    • a_{n}=\frac{1}{n}: \sum a_{n} diverge e \sum \frac{1}{a_{n}} diverge.
    • a_{n}=n^{2}: \sum a_{n} diverge e \sum \frac{1}{a_{n}} converge.
      Esses exemplos mostram que não existe a implicação proposital no enunciado.

Resposta

F

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