Questão 1. Considere as séries abaixo, verifique a convergência ou a divergência de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
e pede que verifiquemos se ela converge ou diverge. As informações relevantes são:
A pergunta concreta é: a soma infinita
converge? Se sim, qual é o seu valor (ou prova de convergência)?
Passo 2
Primeiro, o que significa dizer que a série converge? Definimos a soma parcial
A série
converge se, e somente se, o limite
existe e é finito. Então a estratégia será calcular
em forma explícita e tomar
. Se o limite for finito, conclui-se convergência (e o valor do limite será a soma).
Passo 3
Para conseguir uma expressão simples para
, vamos decompor o termo geral por frações parciais. Escrevemos
onde
são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
podemos substituir valores convenientes de
(é um artifício algébrico mesmo que originalmente
seja inteiro positivo):
- Se
: , então . - Se
: , então . - Se
: , então .
Portanto a decomposição é
Passo 4
Outra forma equivalente, mais prática para telescopar, é agrupar termos:
Para ver que isso é consistente, calcule o lado direito em uma fração única:
Essa forma é ótima porque gera um efeito de cancelamento (telescópico) quando somamos sobre
.
Passo 5
Agora montamos a soma parcial usando a forma telescópica:
Vamos escrever explicitamente os primeiros termos para ver o cancelamento. Para
obtemos
. Para
obtemos
. Para
obtemos
. E assim por diante até
, que dá
. Ao somar, muitos termos internos cancelam em pares, sobrando apenas o primeiro positivo e o último negativo:
Passo 6
Substituindo no
temos
Calcule
, então
Agora tomamos o limite quando
. O termo
tende a
, porque é uma fração cujo denominador cresce como
. Assim
Portanto a série converge e sua soma é
.
Passo 7
Comentário final (rápido e prático): outra maneira de ver a convergência sem calcular a soma seria observar que para grandes
temos
e a série tipo
com
converge. Mas aqui, além de garantir convergência, conseguimos o valor exato da soma por telescopagem.
Resposta
A série converge e seu valor é
.