Questão 1. Considere as séries abaixo, verifique a convergência ou a divergência de cada uma delas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}
e pede que verifiquemos se ela converge ou diverge. As informações relevantes são:
\text{termo geral: }\; a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)},\quad n=1,2,3,\dots
A pergunta concreta é: a soma infinita \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge? Se sim, qual é o seu valor (ou prova de convergência)?

Passo 2

Primeiro, o que significa dizer que a série converge? Definimos a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
A série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, o limite
\lim_{N\to\infty} S_N
existe e é finito. Então a estratégia será calcular S_N em forma explícita e tomar N\to\infty. Se o limite for finito, conclui-se convergência (e o valor do limite será a soma).

Passo 3

Para conseguir uma expressão simples para S_N, vamos decompor o termo geral por frações parciais. Escrevemos
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2},
onde A,B,C são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por n(n+1)(n+2) obtemos
1 = A(n+1)(n+2) + B\,n(n+2) + C\,n(n+1).
Para achar A,B,C podemos substituir valores convenientes de n (é um artifício algébrico mesmo que originalmente n seja inteiro positivo):
  • Se n=0: 1 = A\cdot 1\cdot 2, então A=\tfrac{1}{2}.
  • Se n=-1: 1 = B\cdot(-1)\cdot 1 = -B, então B=-1.
  • Se n=-2: 1 = C\cdot(-2)\cdot(-1)=2C, então C=\tfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n+2}.

Passo 4

Outra forma equivalente, mais prática para telescopar, é agrupar termos:
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).
Para ver que isso é consistente, calcule o lado direito em uma fração única:
\frac{1}{2}\cdot\frac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
Essa forma é ótima porque gera um efeito de cancelamento (telescópico) quando somamos sobre n.

Passo 5

Agora montamos a soma parcial usando a forma telescópica:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).
Vamos escrever explicitamente os primeiros termos para ver o cancelamento. Para n=1 obtemos \frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}. Para n=2 obtemos \frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}. Para n=3 obtemos \frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{4\cdot5}. E assim por diante até n=N, que dá \frac{1}{(N)(N+1)}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}. Ao somar, muitos termos internos cancelam em pares, sobrando apenas o primeiro positivo e o último negativo:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}.

Passo 6

Substituindo no S_N temos
S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\right).
Calcule \frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2}, então
S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(N+1)(N+2)}.
Agora tomamos o limite quando N\to\infty. O termo \frac{1}{2(N+1)(N+2)} tende a 0, porque é uma fração cujo denominador cresce como N^2. Assim
\lim_{N\to\infty} S_N=\frac{1}{4}.
Portanto a série converge e sua soma é \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Comentário final (rápido e prático): outra maneira de ver a convergência sem calcular a soma seria observar que para grandes n temos a_n\sim \dfrac{1}{n^3} e a série tipo \sum 1/n^p com p>1 converge. Mas aqui, além de garantir convergência, conseguimos o valor exato da soma por telescopagem.

Resposta

A série converge e seu valor é \dfrac{1}{4}.

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