Questão 13. No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln (n))^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}
converge ou não. As informações gerais do problema são: a\in(0,1) e b>0 (essas são dadas no enunciado geral, mas não aparecem na série específica que estamos analisando). A série dada tem termos positivos para n\ge 2 (para n=1 temos \ln 1=0, então o termo n=1 é mal-definido; portanto interpretaremos a série a partir de n=2, o que é a prática correta aqui). O que nos pedem: decidir convergência ou divergência da série.

Passo 2

Estratégia escolhida (método): comparação com uma série geométrica. Motivo: é um método básico, direto e adequado quando os termos da série são do tipo \big(\text{algo}\big)^{n}. Vou mostrar que, a partir de um certo índice N, cada termo \dfrac{1}{(\ln n)^{n}} é menor que um termo geométrico \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}. Como a série geométrica \sum_{n} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge, pela comparação a série original converge também. Antes disso, explico rapidamente a propriedade que vou usar.
Breve explicação sobre séries geométricas e comparação:
  • A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso o somatório vale \dfrac{r}{1-r}. O ponto importante para nós é: se para todo n grande o termo a_n satisfaz 0\le a_n \le C\cdot r^{n} com 0\le r<1 e C constante finita, então \sum a_n converge (pela comparação com a geométrica).
  • Também é importante lembrar que mudar um número finito de termos no início da série (por exemplo, excluir os primeiros k termos) não altera a convergência ou divergência da série.

Passo 3

Encontrar N tal que, para todo n\ge N, tenhamos \dfrac{1}{\ln n}\le \dfrac{1}{2}. Isso equivale a exigir \ln n \ge 2. Vamos resolver essa desigualdade:
\ln n \ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad n \ge e^{2}.
Como e^{2}\approx 7{,}389, podemos tomar N=8. Portanto, para todo n\ge 8 temos \ln n \ge 2 e, consequentemente,
\frac{1}{\ln n} \le \frac{1}{2}.

Passo 4

A partir da desigualdade do passo anterior, elevar aos n-ésimos poderes (observe que todas as quantidades são não negativas) dá, para n\ge 8,
\left(\frac{1}{\ln n}\right)^{n} \le \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Como \dfrac{1}{(\ln n)^{n}} = \left(\dfrac{1}{\ln n}\right)^{n}, concluímos que, para todo n\ge 8,
\frac{1}{(\ln n)^{n}} \le \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 5

Agora aplicamos o teste de comparação:
  • A série geométrica \sum_{n=8}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge porque \dfrac{1}{2}<1.
  • Como, para n\ge 8, temos \dfrac{1}{(\ln n)^{n}} \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}, pelo critério de comparação a série \sum_{n=8}^{\infty} \dfrac{1}{(\ln n)^{n}} também converge.
  • Os primeiros sete termos (de n=1 a n=7) são um número finito de termos; mesmo se alguns forem problemáticos (por exemplo n=1 com \ln1=0), o que importa para a convergência é a cauda da série. A soma de um número finito de termos é finita, então a convergência da cauda implica a convergência da série completa (interpretação correta: a série deve ser entendida iniciando em n=2; de todo modo, excluir ou incluir um número finito de termos não muda o resultado de convergir).

Passo 6

Conclusão lógica: como a cauda da série é majorada por uma série geométrica convergente, a série original
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}
converge. Como os termos são positivos, essa é convergência absoluta (a noção de “absoluta” é trivial aqui porque os termos já são não negativos).
Observação curta (opcional): se quiser outra justificativa rápida, o teste da raiz também funciona bem aqui. Calculando a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{\frac{1}{(\ln n)^{n}}}=\frac{1}{\ln n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
e como o limite é 0<1, o teste da raiz garante convergência absoluta. Isso reforça a conclusão obtida por comparação.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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